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Como o movimento horizontal de uma bola afeta sua queda? A resposta trivial
a esta pergunta é que ele não afeta. Mas uma resposta mais completa é que o movimento
horizontal constante da bola não tem nenhum efeito sobre o movimento vertical de queda.
A bola está fazendo duas coisas de uma vez. Ela está caindo verticalmente, enquanto
se move com velocidade constante horizontalmente. O espaço em que vivemos é tridimensional,
e portanto o movimento ocorre em três dimensões. Até agora, me concentrei somente
na dimensão vertical, na altitude da bola, ou, em outras palavras, em sua altura acima do chão.
Em casos mais gerais, a bola pode mover-se
tanto horizontal como verticalmente. E se eu jogá-la com um ângulo, ela faz
duas coisas ao mesmo tempo. Ela cai, verticalmente.
Ela vai para cima e para baixo como um objeto em queda, mas ao mesmo tempo,
ela se move horizontalmente, em ritmo constante. A geometria nos diz que, em três dimensões,
podemos descrever a posição de uma bola, ou qualquer outra grandeza vetorial,
por sinal, em termo de coordenadas ao longo de três direções diferentes.
Temos uma certa flexibilidade na escolha destas direções, mas as melhores escolhas
são três direções perpendiculares umas às outras.
Por exemplo, tomemos esta caixa. As caixas têm uma forma tal,
que se colocarmos varetas ao longo de três lados, temos três direções mutuamente perpendiculares
destacadas. Então, aqui está uma dessas direções;
uma segunda direção forma um ângulo reto com a primeira; e ainda uma terceira
também forma um ângulo reto com as duas direções anteriores.
Então, este é um sistema de três direções que são
mutuamente perpendiculares umas às outras. E qualquer uma destas é uma boa escolha
de coordenadas, ao longo das quais pode-se expressar qualquer vetor que se queira.
Quando descrevermos o movimento
de uma bola em queda, há uma escolha especialmente simples de coordenadas.
Nesta escolha, uma das coordenadas aponta diretamente para cima.
A segunda aponta horizontalmente ao longo da trajetória da bola.
Eu chamo esta direção de "campo-abaixo", porque se você estiver jogando futebol
então você tenta se mover ao longo desta coordenada.
A terceira coordenada aponta para um dos lados da trajetória,
e na verdade não importa muito, neste caso.
Portanto, aqui estão as coordenadas mais simples.
Uma delas aponta diretamente para cima, a outra aponta horizontalmente "campo-abaixo",
e a terceira aponta para o lado.
Com esta descrição, então, podemos examinar como uma bola cai.
Se eu a deixar cair do repouso, ou jogá-la diretamente para cima, então todo
o seu movimento se dá ao longo da coordenada vertical. Mas, se eu jogá-la fazendo um ângulo,
ela se moverá tanto ao longo da vertical, como ao longo da direção horizontal, "campo-abaixo".
Agora, um fato notável.
O movimento de uma bola em queda se separa perfeitamente em duas partes,
um movimento vertical de queda, e um movimento "campo-abaixo" constante.
O movimento vertical da bola, isto é, a componente de seu movimento
ao longo da coordenada vertical, é o de uma bola em queda.
O movimento da bola "campo-abaixo", isto é, a componente de movimento
ao longo da coordenada horizontal, tem velocidade constante.
E a bola estará fazendo ambas as coisas simultaneamente,
e uma não afeta a outra. Para lhes dar uma ideia de por que a coisa funciona assim,
antes de eu sair e mostrar que realmente funciona assim, vamos examinar
como a bola acelera. Ela está sendo puxada para baixo
pela gravidade e portanto sua aceleração aponta diretamente para baixo, perfeitamente
ao longo da direção vertical. A aceleração da bola está inteiramente
ao longo desta direção vertical e, portanto, a componente de sua aceleração
ao longo desta direção é a aceleração toda.
Portanto, a bola acelera ao longo da coordenada vertical
perfeitamente. Nesta direção, ela é uma bola em queda.
Tudo o que se relaciona com a queda se dá ao longo desta direção aqui.
Por outro lado,
não há força gravitacional apontando na direção "campo-abaixo".
A direção "campo-abaixo" é horizontal, e a gravidade é um efeito na vertical.
Portanto, a bola não tem aceleração devido à gravidade
ao longo da direção horizontal. A gravidade não tem nenhum efeito na horizontal,
e nesta direção a bola faz apenas o que já vinha fazendo antes,
em acordo com a Primeira Lei de Newton. Ela não é afetada nesta direção
e portanto, ela vai com velocidade constante. A componente de velocidade
ao longo da horizontal é constante.
Assim, o movimento da bola, na vertical, é de queda livre.
Mas seu movimento na direção horizontal tem velocidade constante.
Bem, vou lhes mostrar isto. Precisarei de um pouco mais de espaço,
então vou subir ao terceiro andar novamente, e vou jogar coisas pela janela.
Desta vez, quero fazer com que a bola se mova rapidamente na horizontal,
para que vocês vejam o movimento nesta direção. E como uma bola de boliche tem uma ***
bem grandinha, não posso jogá-la com muita velocidade na horizontal.
É um problema de inércia, concordam? Então, vou jogar uma bola de basquete.
Aqui vamos nós. Vou jogar uma bola de basquete da janela do terceiro andar do prédio
do Instituto de Física da UVA, e vou fazê-la se mover horizontalmente
tão rápido quanto possível, para que vocês vejam o movimento na horizontal
ao mesmo tempo que na vertical. Na vertical, ela estará em queda livre.
E aqui vamos nós.
Aí vai a bola de basquete. Vou jogá-la tão na horizontal
quanto me seja possível. Assim, ela vai começar seu movimento
sem componente vertical de velocidade. Um, dois, três, lá vai.
A queda da bola de basquete e os quiques levaram alguns segundos, mas
ainda é difícil ver o que acontece em tempo real. Então, vou aproveitar
que isto é um vídeo para mostrar o movimento de arco em descida, mas com as imagens
da bola persistindo na tela. Então, lembrem-se que esta câmera registra
30 quadros por segundo, então as imagens que você verá a cada instante estarão separadas
por 1/30-avos de segundo. Aqui está novamente
a bola jogada horizontalmente da janela, e se movendo ao longo de um arco descendente.
A trilha da bola de basquete nos permite
determinar sua posição, sua velocidade e mesmo sua aceleração
a cada instante de sua queda. Inicialmente, vou me concentrar apenas
no movimento vertical da bola; isto é, apenas na componente de seu movimento
ao longo da direção vertical.
Também vou mostrar o vídeo dez vezes mais lento que em sua velocidade normal,
para que vocês possam ver o que está acontecendo. Vou marcar a componente vertical
da posição da bola e a componente vertical de sua velocidade a cada 1/5 de segundo,
à medida em que ela cair. Aqui está então a mesma queda da bola,
mas mais lenta e com as componentes verticais de velocidade e posição
para vocês verem.
Como vocês podem ver, a componente vertical do movimento da bola é a de um objeto em queda.
Não há diferença entre a componente vertical do movimento desta bola,
que eu joguei na lateral, pra começo de conversa, e o movimento da bola de boliche
que eu deixei cair anteriormente, partindo do repouso, desta mesma janela.
Em ambos os casos, a bola acelera para baixo, com a aceleração
devida à gravidade. Sua componente vertical de velocidade
aumenta para baixo, a mais ou menos 10 metros por segundo, a cada segundo.
E a bola cobre distâncias cada vez maiores à medida que passa o tempo.
Então, o movimento vertical de uma bola em queda é o de queda, independentemente
de qual seja seu movimento na horizontal. Agora, vou mostrar novamente o mesmo vídeo,
e novamente a um décimo da velocidade normal. Só que desta vez, ao invés de me concentrar
na componente verrtical do movimento, vou me concentrar na sua componente
ao longo da direção horizontal; isto é, na porção do movimento da bola
que ocorre na direção horizontal, que estará para a esquerda do vídeo.
Então, aqui está o mesmo movimento em câmera lenta,
com a componente horizontal da posição marcada a cada 1/5 de segundo.
Como vocês podem ver,
o movimento horizontal da bola tem velocidade constante.
A bola, na horizontal, percorre distâncias iguais em tempos iguais.
Portanto, a componente "campo-abaixo", horizontal deste movimento é a mesma de um objeto inercial.
A bola não experimenta nenhuma força ao longo da direção horizontal
e portanto não acelera nesta direção, na horizontal.
Ela simplesmente se move com velocidade constante. Portanto, a bola faz duas coisas diferentes ao mesmo tempo.
Ela cai na vertical, e ela se move com velocidade constante na horizontal. As duas coisas,
juntas, resultam no movimento em arco que vocês viram quando a bola foi jogada horizontalmente;
ela faz um arco para baixo, até que finalmente ela atinge o solo.
Bem, isto foi para uma bola de basquete caindo da janela.
A história vai ser a mesma se eu jogar uma bola de boliche da janela.
E, claro, é divertido jogar bolas de boliche da janela.
Tenho certeza que vocês adorariam ver. Então, lá vai.
Prontos? Aqui vai a bola de boliche.
Não quicou muito...
...mas foi divertido. Talvez fosse bom tapar o buraco que ficou. Bolas de boliche não têm muito a ver
com bolas em queda, mas o basquete, tem. Ainda assim, basquete não se joga
com bolas caindo de janelas. Em vez disso, se joga em uma quadra com gente
jogando a bola pra lá e pra cá, seja entre eles, seja em direção à cesta.
Sempre que a bola se descolar das mãos, será uma bola em queda.
Portanto, o basquete tem tudo a ver com bolas em queda.
Para ver isto, vamos à quadra esportiva e vamos observar pessoas praticando bola-ao-cesto.
Uma vez que a bola de basquete deixa as mãos do lançador, ela sofre somente uma força,
o seu peso, que aponta diretamente para baixo. Portanto, é uma bola em queda.
E o arco que ela percorre neste arco é o de um objeto em queda.
Cada vez que um jogador lança a bola e que ela deixa suas mãos,
ela começa a cair e percorre o arco de um objeto em queda.
Eu poderia pegar qualquer um destes lançamentos, mostrar a trilha de imagens da bola,
e então mostrar que esta trilha é o arco de um objeto em queda.
Aqui estão algumas destas curvas. Vou lhes mostrar o arco formado
pelas imagens da bola de basquete, e então lhes mostrar tanto o movimento na vertical,
como o na horizontal, para que vocês possam ver que o movimento na vertical
é o de queda, e que o movimento na horizontal tem velocidade constante.
Dependendo da perspectiva que tivermos de um lançamento em particular,
algumas das distâncias ficarão comprimidas à medida que a bola se mover para longe.
E portanto, a homogeneidade do movimento na horizontal poderá não ficar perfeitamente visível.
Ainda assim, o comportamento básico
de queda na vertical e de velocidade constante na horizontal aparece
em qualquer partida de basquete. Aqui está um belo lançamento de três pontos
direto na cesta. E aqui está o mesmo lançamento, de novo,
com todas as imagens da bola persistindo na tela.
E aqui, temos uma imagem estática mostrando todas as imagens
da bola. Fiz marcações para que vocês possam ver
as componentes vertical e horizontal de movimento da bola.
O movimento vertical da bola é o de um objeto em queda.
A bola sobe rapidamente em um primeiro instante, depois sobe mais e mais lentamente.
Em um dado momento, nem sobe nem desce, e depois desce cada vez mais rápida,
à medida que se aproxima da cesta. O movimento horizontal da bola,
ao longo da direção "campo-abaixo", tem velocidade constante.
A bola se move com velocidade horizontal constante, com ritmo constante.
E parece que as linhas amarelas na vertical se aproximam cada vez mais
simplesmente porque a bola se afasta cada vez mais de nós.
Por causa desta perspectiva neste lance, então, as linhas que estiverem mais distantes
parecem estar mais próximas porque o espaço ali está mais comprimido.
É simplesmente uma questão de distância. Então, este é realmente o arco de uma bola em queda
jogada fazendo um ângulo, e o jogo de basquete tem um monte de arcos como estes;
cada lance é assim. Aqui está outro lance bonito
caindo na cesta. E aqui está o mesmo lance com uma trilha
de bolas de basquete persistindo na tela.
Por último, aqui está uma fotografia estática do lance, marcado para que vocês vejam
que a bola de basquete cai na vertical, e se move com velocidade constante na horizontal.
É o momento para uma pergunta. Tenho uma bola laranja e uma bola preta,
e vou rolar as duas para fora da mesa, lado a lado, e deixar que cheguem ao chão.
A bola preta pesa duas vezes mais que a bola laranja, mas a bola laranja estará se movendo
para a direita com o dobro da velocidade, quando as duas deixarem a mesa.
A pergunta é: qual bola chegará ao chão antes, e qual bola chegará ao chão
mais longe da mesa? Aqui vamos nós.
Prontos? Preparem-se... Já.
Ambas as bolas deixam a mesa com a mesma velocidade na vertical: zero. De fato elas começam a cair,
na vertical, a partir do repouso. Elas caem juntas, e atingem o chão
ao mesmo tempo. Mas a bola laranja estava viajando
com velocidade horizontal maior. Ela tinha uma componente de velocidade horizontal
maior que a bola preta, e portanto usou seu tempo para viajar para mais longe da mesa;
ela atingiu o solo a uma distância horizontal da mesa maior.
Os arcos de bolas em queda são parte de quase qualquer esporte praticado com bolas,
incluindo o futebol americano, o basquete, o baseball e o futebol.
Efeitos devidos ao ar modificam estes arcos, e vamos lidar com estes efeitos
em outros episódios. Mas mesmo que continuemos a ignorar o ar,
podemos fazer algumas observações interessantes sobre como funcionam os esportes praticados com bolas.
Toda vez que você chutar ou lançar uma bola, haverá geralmente um limite
para a rapidez inicial com que você consegue lançar a bola. Por exemplo, há um limite máximo
para a rapidez com que consigo lançar uma bola. Suponhamos que você lance a bola
o mais rápido que pode; qual o caminho que a bola percorre? Bem, isso depende
da direção na qual você a lança. Eu estabeleci o limite máximo para a rapidez da bola,
mas ainda não escolhi sua velocidade. Lembremos, a velocidade é uma grandeza vetorial
e portanto tem uma orientação associada a ela. Assim, quando você lançar a bola,
você não estará escolhendo apenas sua rapidez, e vamos escolher a rapidez máxima.
Mas, você estará escolhendo a orientação da velocidade da bola que estará deixando sua mão.
Bem, quando você escolher a rapidez da bola,
e em particular a orientação de sua velocidade,
você escolherá tanto a componente vertical de sua velocidade,
quanto sua componente horizontal de velocidade. Se você lançar a bola diretamente para cima,
você colocará toda a rapidez no movimento vertical, e dará a bola a componente máxima
de velocidade na vertical. Ao mesmo tempo, no entanto, você dará à bola
uma componente de velocidade horizontal zero.
Então, diretamente para cima, ela concentra toda a rapidez na direção vertical.
Por outro lado, você poderá jogar a bola diretamente na horizontal, e dará à bola
rapidez apenas na direção horizontal,
não na vertical. E poderá fazer tudo o que estiver entre estes dois extremos.
Bem, quanto à escolha do ângulo, o mediremos com relação à horizontal.
Então variaremos o ângulo entre zero e 90 graus. A escolha do ângulo de lançamento da bola
tem um efeito enorme sobre sua trajetória.
Ele determina tanto quanto tempo a bola permanece acima do chão, como quanta distância ela viaja
na horizontal durante o tempo de voo.
Vamos começar jogando a bola diretamente para cima; isto é, a 90 graus acima da horizontal.
Eis um gráfico da posição da bola, tanto de sua componente vertical de posição,
como sua componente horizontal de posição, em intervalos de tempo iguais
durante seu voo. Jogando a bola diretamente para cima, você
colocará toda a rapidez inicial da bola na componente vertical
e nada na componente horizontal da velocidade.
Esta bola terá a máxima velocidade vertical possível e portanto subirá
à maior altura que se pode chegar, e levar o máximo tempo possível para chegar ao chão.
Mas, claro, ela não se moverá ao longo do campo, porque você não terá dado
nenhuma componente de velocidade na horizontal. Ela cairá sobre a sua cabeça,
o que geralmente não é muito útil na maioria dos esportes com bolas.
Vamos tentar outra coisa. Vamos baixar o ângulo de lançamento de nossa bola
para 70 graus. Neste caso, colocaremos a rapidez da bola,
em sua maior parte, na componente vertical da velocidade, mas uma parte
vai para a componente horizontal. Agora, então, a bola não permanece no ar
por tanto tempo quanto antes. Ela simplesmente não terá tanta componente vertical
de velocidade quanto antes, mas usa este tempo, em que está acima do chão, para
se mover ao longo do campo. E ela aterrisará em algum outro lugar do campo,
o que é bom, pois você não levará uma bola na cabeça de novo. Vamos baixar ainda mais o ângulo,
vamos passar para 45 graus. Este é um ângulo especial porque com ele, você estará distribuindo
a rapidez inicial da bola igualmente entre a vertical e a horizontal.
Então, igualemos as componentes vertical e horizontal da bola.
Elas têm direções diferentes, mas a rapidez em cada direção é a mesma.
Aqui, há um equilíbrio perfeito
entre o movimento vertical, que mantém a bola acima do chão, e o movimento horizontal,
que faz com que a bola viaje na direção em que se deseja.
E com este balanço perfeito, a 45 graus e na ausência de ar - o ar muda
as coisas um pouco - a bola permanece no ar tempo suficiente
e viaja a uma velocidade horizontal suficiente para atingir a maior distância possível
do ponto em que você a lançou. Então, se você a lançar desta altura,
ela passará por ela novamente o mais distante possível ao longo do campo.
Muito bem, baixemos o ângulo ainda mais, de 45 para cerca de 20 graus.
Neste ângulo, você colocará a maior parte da rapidez inicial da bola ao longo
da direção horizontal, de modo que a componente horizontal da velocidade
será razoavelmente grande. Não haverá muita componente vertical
de velocidade sobrando. A bola não permanecerá no ar por muito tempo,
mas ela usará o pouco tempo que estiver no ar para viajar bem rápido ao longo do campo.
Finalmente, se baixarmos o ângulo a zero, na horizontal, a bola em princípio
nem fica no ar por tempo algum. Esse tempo depende do fato
de que você joga a bola daqui e que o chão está bem ali.
Mas se você jogasse a bola do nível do chão, horizontalmente, ela atingiria o chão
imediatamente. Portanto, um lance completamente na horizontal não adianta de muita coisa,
em geral, se você estiver muito baixo.
Mas em esportes como o baseball, por exemplo, isto não é mau porque você estará lançando a bola
suficientemente acima do chão, para que ela possa permanecer no ar e estar acima do chão
na hora em que ela chegar à base. Todas estas possíveis trajetórias
são potencialmente úteis em esportes com bolas. Por exemplo, se você quiser jogar uma bola
de futebol à maxima distância possível, você provavelmente quererá lançá-la a 45 graus
acima da horizontal, porque você então terá o melhor equilíbrio
entre as componentes vertical e horizontal da velocidade, e poderá maximizar
a distância horizontal de voo. Mas, às vezes, maximizar esta distância
não é o que você quer. Por exemplo, um jogador de vôlei pode querer fazer a bola chegar perto da rede
mas dar tempo aos outros jogadores de se posicionarem adequadamente
para darem a melhor cortada. Então,
um jogador de vôlei muitas vezes lançará a bola acima de 45 graus, talvez a 70 ou 80 graus,
de modo que a bola terá tido um tempo maior acima do chão, tendo percorrido
uma distância pequena. Por outro lado, no handebol, se ooutros jogadores estiverem
vindo para cima de você e você quiser jogar a bola o mais rápido possível para outro jogador
que não esteja muito distante de você, você concentrará
a maior parte da rapidez com que lança a bola na horizontal.
Neste caso, você lançará a bola abaixo de 45 graus,
em cerca de 20 graus ou até mesmo a 10 graus, para que a maior parte da rapidez da bola
fique na componente horizontal da velocidade, para que ela chegue muito rapidamente ao seu colega de time.
Portanto, em vários esportes com bolas, a escolha destes ângulos é importante,
pois resulta em diferentes voos, ainda que muitas trajetórias diferentes possam ser úteis.