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Hoje eu quero tentar dar um nó na sua cabeça
um pouquinho
E eu espero causar um pouco de debate nos
comentários, porque eu sei YouTube é o lar do debate racional
e informativo
Então eu estou esperando
A pergunta é: Isso é igual a o que?
É uma soma bastante simples.
Começa com 1.
Depois eu vou subtrair 1.
Depois eu vou adicionar 1, aí subtrair 1, aí adicionar 1,
aí subtrair 1, aí adicionar 1, aí subtrair 1.
E eu vou fazer isso para sempre.
Vocês entendem a ideia, eu espero.
Então, qual é o resultado?
Uma das respostas possíveis se eu usar os
parênteses assim --
Aqui e aqui e aqui e aqui--
Você pode ver que cada um é 1 menos 1 mais 1 menos 1
mais 1 menos 1.
Cada parêntese é 0.
Então você soma 0 mais 0 mais 0 mais 0 sempre.
O que vai acabar igualando a soma à 0, certo?
Essa é uma das respostas que possíveis.
O problema é que há outra resposta.
Se eu fizer de novo, a gente pode botar os parênteses aqui, assim
Vamos dizer que é--
mais de novo aqui mais esse outro.
Então começamos com 1 mais -1 mais 1-- isso é um 0--
mais -1 mais 1.
Isso é um 0.
Et cetera, et cetera.
Todos os parênteses são iguais a 0.
Então, a soma deles é igual a 0.
Mais tem um "1" no começo.
Então, agora, tudo é igual a 1.
Temos duas respostas.
0 se eu puser os parênteses aqui.
e 1 se eu puser em um outro lugar.
Tem uma terceira resposta também, e é
a resposta bem esquisita.
Vamos dizer que tem um numero, S. Nós vamos
tentar descobrir Quanto vale S
Isso é o que nós queremos saber.
Vamos fazer 1 menos S. Que é 1 menos essa soma infinita.
Vamos ver.
Vamos escrever isso.
Mais 1 menos 1 mais 1 menos 1--
Certo.
Se a gente tirar os parênteses, esse menos significa que
todos os sinais vão trocar, então 1 menos
1 mais 1 menos 1 mais 1 menos 1.
Isso é o que acontece quando eu tiro os parênteses
Mas isso é aquilo com o que eu comecei
Ou seja, +1 e -1 alternados.
Então eu achei S de novo
Então 1 - S = S. Tudo bem...
That's certo.
Dá pra resolver isso.
Em outras palavras, se eu jogar S para o outro lado, eu tenho
2S = 1, ou seja, podemos ver que
S é igual a 1/2.
É uma resposta esquisita.
Encontrei "meio".
O resultado de somar +1 e -1
infinitamente dá "meio".
Bem, pode ser 1.
Pode ser 0.
Mas pode ser 1/2.
O cara que teve essa ideia era um matematico
italiano chamado Grandi.
Ele pensou nisso em 1703.
Ele era um monge.
Ele era um matemático.
Ele era um "desses caras".
Ele publicou isso.
E disse "isso é estranho".
É 0.
É 1.
É 1/2.
Como assim?
E a comunidade matemática deu uma olhada.
E disseram: Não pode ser 1/2, pode?
Quer dizer, vocês tem 1s e 0s.
Isso é loucura.
Não pode ser.
Opa.
Pera aí.
Opa, até que é bem convincente.
Talvez seja 1/2.
Então discutiu-se isso por bastante tempo--
Acho que uns 150 anos--
bastante debatido até o séc. XIX quando esses problemas
com somas infinitas foram resolvidos
Mutias pessoas pensam que a melhor resposta é 1/2.
Eu quero mostrar o por quê deles pensarem
que a melhor resposta é essa
E depois eu vou mostrar mais uma coisa
Pra dar um nó na sua cabeça.
A gente pega uma soma infinita legal-- porque tem as "legais" e
tem as somas infinitas "ruins"-- uma das
Legais é essa aqui
1 mais 1/2 mais 1/4 mais 1/8 mais 1/16.
E, se você resolver, a resposta é--
Na verdade, deixa eu mostrar como se faz direito
O jeito certo de olhar pra somar parciais.
Nós vamos adicionar essa soma termo por termo.
Então, é só fazer uma sequência.
Começando por 1.
Deixa eu escrever:
O que eu tenho se eu somar os dois primeiros termos?
É 1 mais 1/2.
Que é 3/2.
Se você preferir, 1,5.
Vamos somar os três primeiros.
Então 1/2 mais 1/4.
Vamos ver...
7/4--
É 1,75.
Se eu somar os quatro primeiros--
15/8, que é 1,875.
Depois, 63/31...
1,96875.
Você deve estar vendo, fica cada vez mais perto
do valor "2".
Em geral, se eu escolhesse genéricamente, seria 2
menos 1 sobre n.
Como você vê, quando n cresce, isso diminui
e disaparece, e você fica só com o 2.
E os matemáticos estão certos em dizer que
A soma infinita é igual a 2.
Se tentarmos com a série de Grandi, não funciona.
Olha as somas parciais.
A primeira é 1
Se você adicionar as duas primeiras
você encontra 0
Com as três primeiras, você encontra 1 de novo.
Adicionando as quatro prmeiras, você volta a 0.
E continua alternando entre 1s e 0s
Não está se aproximando de um valor
Então isso não funciona com a série de Grandi
Então eu vou mostrar uma segunda maneira
de resolver somas infinitas
Eu vou pegar as somas parciais e vou ollhar
para as médias.
Eu vou fazendo enquanto eu avanço
Quase a mesma coisa
Vou fazer com essa primeiro pra te mostrar
Vamos pegar essa primeira
Que é 1.
Somando as duas primeiras parciais.
Então 1 mais 1.5, mas a gente quer a média.
Então dividimos por 2
Então é 1 mais 3/2 e depois tira a média, assim.
A média é igual a 5/4.
Se eu fizesse com os t três primeiros, seria 1
mais 3/2 mais 7/4 dividido por 3.
que dá 17/12, e--
Bem, acho que deu pra entender
De novo, esses numeros estão chegnado cada vez mais perto de 2
É só um outro método que dá mesma resposta.
Me dá 2 de novo
Na verdade, em geral, você sempre encontra 2 menos algum lixo.
Ah, a piada não é importante.
Olha
É lixo
Mas esse lixo está cada vez menor
E menor, e menor...
Então é 2 de novo.
É só outro método para encontrar a mesma reposta
Mas esse pode ser usado com a série de Grandi.
Vamos tentar
Tirar a média das somas parciais
Então essas são as somas parciais:
Começamos com 1
Se você tirar a média das duas primeiras é 1+0 diividido
por 2, que é 1/2
As três primeiras, divididas por 3 é 3/2
As quatro primeiras parciais
1 mais 0 mais 1 mais 0--
divide por 4.
é 1/2 de novo (a não ser que eu tenha errado)
As cinco primeiras
É... você já entendeu né?
Divide por 5
que dá 3/5
O que acontece, se você continuar
Em geral, voce encontra 1/2 seguido por algo como 1/2
mais 1 sobre 2n
Aqui...
De novo, você encontra um lixo aqui que tá cada vez menor
e menor, e menor
E tudo tende a 1/2
Você está se aproximando do numero 1/2
Essa é mais técnica que a o utra versão que eu fiz mas
é uma outra maneira de achar as somas:
A média das somas parciais
Só que essa funciona pra o que queremos
E a reposta é 1/2
Então, o que que tá acontecendo?
Qual a diferença?
O segundo método- ele te dá somas quando
existem somas pra encontrar
Um limite quando você está se
aproximando de um valor
Mas a série de Grandi não tem um limite porque você não tá
Se aproximando de um valor
Mas você tem esse jeito de encontrar a soma
É quase como um limite, mas não é realmente um
É um limite falso
Um pseudo-limite
Tem todas as propriedades de um
Faz as mesmas coisas
É tão próximo de um limite que aparece em
contas quando você espera que um limite apareça
Mas a diferença é que você não está mais perto,
mais perto, mais perto.
Pra completar o nó, imagina isso:
Vamos tentar imaginar fazer isso no mundo real
Imagina uma lâmpada
Que nós vamos ligar e desligar
Então, você liga
E você desliga
Então, acompanhado a série, toda vez que
eu vejo 1, eu ligo a luz
toda vez que eu vejo -1, eu apago a luz
Então, liga... desliga...
liga... desliga...
As somas parciais te dizem se a luz está ligada
Se você tiver 1, você ligou a luz
Se você ver um 0, você desligou a luz
Vamos começar um experimento
Depois de um minuto, você liga a luz
Meio minuto depois, você desliga a luz
1/4 de minuto depois, Você liga a luz
Depois de 1/8 de minuto, você desliga a luz
Você tá ligando e desligando, mas está cada vez mais rapido
e acelerando, acelerando, acelerando
Então, você tá fazendo isso infinitas vezes
Mas, se a gente somar o tempo, 1 min + 1/2 min
+ 1/4 de min + 1/8 de min
Pra sempre
Soma 2 minutos
Na verdade, essa é a outra soma que eu tinha feito
Se você lembrar do outro vídeo sobre o paradoxo de Zeno
Isso não vai SÓ chegando perto de 2, se você
completar o processo todo
em dois minutos
Em 2 minutos você vai ter ligado e desligado
a luz infinitas vezes
Depois de dois minutos, a luz está ligada ou desligada?
Se a série de Grandi somar 0, a luz tá ligada
Se a série somar 1, a luz está desligada
Mas, e se a série somar 1/2?
A luz tá meio ligada e meio apagada?
Tá ligada e desligada ao mesmo tempo?
O que você acha?
Então, ele tem uma vantagem
Uma vantagem de 100 metros
E depois a corrida começa
O Aquiles corre 100 metros e chega
Aonde a tartaruga estava
Mas, nesse tempo, a tartaruga se mecheu