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Nesse vídeo eu quero falar sobre continuidade.
A continuidade de uma função é algo bem simples de reconhecer quando você a vê.
Mas também falaremos sobre como defini-la mais rigorosamente.
Então quando eu digo que é bem simples de reconhecer - deixe eu desenhar algumas funções aqui
Vamos dizer que esse é o eixo y, e esse o eixo x
... e se eu fosse desenhar uma função, vamos dizer que f(x) parece com algo assim.
E entre o intervalo que eu desenhei...
então parece de x=0 até o ponto naquele quanto.
Essa função é continua? Bem, você diria "Não, não é"
Olha, aqui nós vemos que a função pula do nada...
...desse ponto para esse aqui em cima.
isso NÃO é continuo.
Você pode dizer que nós temos uma descontinuidade nesse valor de x bem aqui.
Nós chamariamos isso de descontinuidade,
e esse tipo de descontinuidade é chamo de "Descontinuidade de Salto"
Então você diria que essa função não é continua. É obvio que essas duas coisas não estão conectadas
elas não se tocam.
Similarmente, se você olhar para uma função que parece - deixe eu desenhar outra
y e x. E vamos dizer que essa função parece com isso...
talvez bem aqui, pareça com isso. E então essa função é definida nesse ponto.
Bem lá em cima.
A função é continua no intervalo que eu desenhei aqui?
Você responderia "não, não é" pois bem ali nesse ponto a função vai para esse ponto.
Bem assim. E isso é um tipo de descontinuidade
... se chama "Descontinuidade Removível"
Alguém poderia argumentar que essa também se parece um salto. Mas essa é tipicamente categorizado como removivel
... pois se você redefinisse a função para que isso não estivesse aqui em cima,,,
... mas está bem aqui, então essa função seria continua.. Então você pode meio que...
... remover a descontinuidade.
E finalmente, se eu desenhar outra função
deixa eu desenhar outra bem aqui. x, y.
E te perguntar: essa função é continua no intervalo que eu determinei?
você diria "Bem, sim, parece conectada em todo o trajeto. Não há saltos...
ou descontinuidade removivel. Essa parece continua"
Continua. Você estaria certo.
Esse é o senso geral de continuidade.
você pode acha-la quando você vê
Mas vamos pensar em uma definição mais rigorosa.
E, desde que já temos a definição de limites...
definição epsilon-delta , nos da uma definição precisa para limites.
Então podemos provar se um limite existe e que qual é o valor desse limite
Vamos usar isso para criar uma definição precisa de continuidade
Então vamos pensar em uma função em um intervalo
vamos dizer que nós temos.. - deixe eu desenhar outra função -
deixei eu desenhar um tipo de funçào
E veremos se nossa definição mais precisa de continuidade funciona quando olhamos para todas essas aqui em cima.
deixe eu desenhar um intervalo bem aqui
então está entre esse valor de x e esse valor de x. Esse é o eixo x e esse o eixo y.
deixe eu desenhar uma função nesse intervalo
parece algo assim.
então dizemos que essa função é continua em um ponto interior
um "ponto interior" é um ponto que não está nos cantos
então isso é um ponto interior do meu intervalo
esse seria um ponto final e esse também seria um ponto final
Dizemos que é continuo no ponto interior
interior no meu intervalo, significa..
... que o limite no ponto interior c
então esse é o ponto x = c
podemos dizer que é continuo no ponto interior c se o limite da nossa...
... função - essa é nossa função bem aqui - quando x...
.. tende a c é igual ao valor da nossa função
agora isso faz sentido?
Bem, o que estamos dizendo é que o ponto - isso é f(c) bem ale -
e o limite quando tendemos a esse ponto é a mesma coisa que o valor da função
o que faz muito sentido
agora vamos pensar sobre isso se esses conseguisse de alguma maneira passar como continuos, nesse contexto
bem aqui, vamos dizer que esse é nosso ponto c
f(c) está bem aqui
esse é f(c). Agora no caso do limite
de f(x) quando x tende a c for igual f(c)
se pegarmos o limite de f(x) quando x tende a c pelo lado positivo
parece com f(c)
mas quando pegamos o limite - isso não e igual, NÃO é igual - o limite
de f(x) quando x tende a c pelo lado negativo.
quando vamos pelo lado negativo, não nos aproximamos de f(c)
então, isso não se sustenta
para o limite ser igual a f(c), o limite de ambas
as direções precisam ser iguais. E esse não é o caso.
então isso não passaria pela nossa definição formal
o que é bom, pois ja visualizamos que esse não é continuo
e sobre esse bem aqui?
deixa eu arruma, para ter certeza que isso pareça um buraco
então nós vemos aqui... qual [e o limite - e esse é nosso c, bem aqui - o lmite
de f(x) quando x tende a c
vamos dizer que é igual a L
então, vimos vário limites assim antes.
isso é L bem ali
está bem claro, apenas olhe para isso, que L não é igual f(c)
esse bem aqui...
... é f(c)
então, novamente, esse não passaria no nosso ***.
o limite de f(x), quando x tende a c, que é esse aqui,
não é igual f(c). Então esse não passaria no nosso ***
e aqui, qualquer desse pontos interiores passaria no nosso ***
o limite, quando x tente a c, é, na verdade, igual a função nesse ponto
então parece ser bom para todos esses
Agora vamos dar uma definição quando estamos falando de pontos finais
então essa é a continuidade de pontos inteiriores
e vamos pensar sobre a continuidade - vou escrever aqui - no ponto final c
vamos considerar primeiro o ponto final esquerdo
se o ponto final esquerdo - então o que eu estou falando, um "ponto final esquerdo"?
deixe eu desenhar os eixos. Eixo x. Eixo y
e deixe desenhar o intervalo
esse é o ponto final esquerdo. Esse é o ponto final direito
deixe eu desenhar a função nesse intervalo
parece com algo assim
estamos falando do ponto final esquerdo, nosso c estando bem aqui
isso é o ponto final esquerdo
se tivermos falando do ponto final esquerdo, nossa continuidade no c significa...
ou dizer que nossa continuidade no ponto final c, isso significa
que o limite de f(x), quando x tende a c
- não podemos tender a c pelo lado esquerdo, temos de nos aproximar pelo lado direito -
é igual a f(c)
então isso é tipo - nós podemos aproximar apenas por uma direção -
então não podemos dizer o limite geral, mas podemos pegar o limite de um lado.
então é muito similar do que eu acabei de dizer de um ponto interior
podemos ver que bem aqui, que é o caso de x tendendo a c
nossa função esta tendendo ao ponto bem aqui
que significa exatamente a mesma coisa que f(x)
então h[a continuidade nesse ponto
qual é o exemplo de um ponto final que não haverá continuidade?
podemos imaginar um gráfico que parece com algo assim.
aqui está nosso intervalo
e talvez nossa função. Então em c parece com isso. Tem um pequeno buraco bem aqui
ou não tem um buraco, a função tem que ser descontinua removivel bem aqui.
pelo menos visualmente parece com isso
e podemos ver, que essa não passaria no nosso ***
pois o limite, quando tendemos a c pelo lado positivo,
está bem aqui
esse é o limite
mas f(c) está aqui em cima
Então f(c) não é igual o limite quando x tende a c pelo lado positivo
então não é continuo
e você pode imaginar o que faremos quando vemos o ponto final da direita
dizemos que há continuidade no ponto final da direita
deixe eu desenhar isso
vou fazer o meu melhor para desenhar
então esse é meu eixo x. Esse é meu eixo y
vou desenhar o intervalo
parece com isso
o ponto final direito significa que c está com aqui
podemos dizer que há continuidade em... a função é continua em...
x igual a c significa que o limite de f(x)
quando x tende a c - não podemos nos aproximar de ambos os lado
podemos apenas nos aproximar pelo lado esquerdo
quando x tende a c pelo lado negativo
podemos dizer que, se for verdade, então isso implica
que temos continuidade no ponto final direito c
e vice e versa
e nas situações que não há continuidade?
podemos imaginar isso sendo definido nesse poto
podemos dizer que a função salta aqui
igual fizemos ali
de novo - uma ideia não muito dificil -
quando vemos uma função saltar do nada
ou ter um buraco nela, é um senso bem facil
que a função não está conectada ali
essa não é continua
mas o que fizermos nesse video foi usar limites
para uma definição mais precisa de continuidade