Tip:
Highlight text to annotate it
X
JAMES GRIME: Hoje vamos falar sobre uma das perguntas
que recebemos inúmeras vezes no Numberphile, e a pergunta é:
Bem, Brady, qual é a pergunta?
BRADY HARAN: A pergunta é: por que é que zero factorial é igual a 1?
JAMES GRIME: Certo.
Porque é que 0 factorial é igual a 1?
Bem, comecemos com uma revisão rápida
do que é um factorial.
Para um número inteiro, peguemos num número n--
n factorial, que é escrito assim. n com um
ponto de exclamação.
Isto é igual a.
Multiplicam-se todos os números inteiros
menores que ou iguais a n.
É n multiplicado por n menos 1 multiplicado por n menos 2
multiplicado por--
e continuamos a decrescer, e chegaremos ao 3
vezes 2 vezes 1.
Um exemplo rápido.
Façamos 5 factorial.
5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1.
E fazemos isto.
Dá 120.
OK.
A pergunta que nos foi colocada é o que é 0 factorial.
Portanto, a forma de responder a isto-- Uma das formas de responder
a isto é completar o padrão.
Vamos completar o padrão.
Este padrão em particular, 4 factorial, é igual a
5 factorial a dividir por 5.
Se virmos isto, se pegarmos no 5 factorial e dividirmos por
5, significa que podemos tirar aquele 5, e acabamos
com 4 factorial.
Portanto 5 factorial a dividir por 5, ou 120 a dividir
por 5, dá 24.
Isto é 4 factorial.
3 factorial será 4 factorial a dividir por 4.
Isto é, 24 a dividir por 4.
O que dá 6.
Esta é a resposta para 3 factorial.
2 factorial, 3 factorial a dividir por 3, 6, que já
calculámos, a dividir por 3, dá 2.
1 factorial.
Façamo-lo outra vez.
É 2 factorial a dividir por 2.
2 factorial é 2, a dividir por 2.
Temos 2 a dividir por 2.
Que é igual a 1.
Agora é que isto fica emocionante.
Já sentem a emoção?
Agora o 0 factorial.
Vamos completar o padrão.
0 factorial é 1 factorial a dividir por 1.
1 factorial é 1.
É 1 a dividir por 1, e isso é igual a 1.
Portanto 0 factorial é igual a 1.
Completámos o padrão.
BRADY HARAN: Quem diz que o padrão tem que ser completado?
Donde vem essa regra?
JAMES GRIME: Eu diria que não tem necessariamente que ser
um padrão que se complete.
No entanto, é um padrão que se completa.
Vou tentar explicar de outra forma.
BRADY HARAN: Deixa-me continuar o padrão primeiro.
Isso quer dizer que menos 1 factorial seria o próximo
nessa sequência?
JAMES GRIME: Vamos ver o que acontece.
Não tenho a certeza do que vai acontecer.
Vamos tentar.
Menos 1 factorial.
O que deveremos obter?
0 factorial a dividir por 0.
1 a dividir por 0.
BRADY HARAN: Oh, dividir por 0.
JAMES GRIME: Violaste a Matemática, Brady.
Pára com isso.
Outra forma de explicar 0 factorial.
n factorial é o número de formas
de arrumar n objectos.
Deixem-me tentar mostrar-vos o que quero dizer.
Vamos arranjar algumas moedas.
Vou tirar a carteira.
E arranjar algumas moedas.
Vês?
Quem disse que os matemáticos não fazem montes de dinheiro?
Há aqui uns 50p.
Peguemos numa prateada e numa de 5p.
Três objectos aqui, quantas formas há de arrumar estes
três objectos?
Há seis formas de o fazer.
É 3 factorial.
Vamos confirmar.
Esta é uma, com esta duas, ou podemos ter esta aqui--
com esta três, mais esta quatro.
Ou poderíamos ter--
Acho que esta ainda não tínhamos tido.
Estas serão a cinco e a seis.
Se tirarmos uma, temos agora dois objectos.
Quantas formas há de arrumar dois objectos?
Esta é uma, com esta duas.
Tiremos uma.
Quantas formas há de arrumar um objecto?
Cá está.
Há uma forma de o fazer.
Uma forma de arrumar um objecto.
Agora vamos retirar a última moeda.
Agora isto vai ficar um pouco filosófico.
Temos zero objectos.
Quantas formas há de arrumar zero objectos?
Há uma forma de o fazer.
Cá está.
Querem ver-me fazê-lo outra vez?
Cá está.
Ligeiramente filosófico, mas digamos que há uma forma
de arrumar zero objectos.
Portanto, mais uma vez, o padrão verifica-se.
0 factorial é igual a 1.
Para continuarmos um pouco mais além, se estamos
a falar de factoriais, vamos tentar representá-los graficamente.
Digamos que temos um, dois, três, quatro, cinco.
1 factorial é 1, portanto vamos chamar-lhe 1.
2 factorial é 2, portanto algures por aqui.
3 factorial é 6.
Não sei.
Algures por aqui.
4 factorial é 24, portanto isso será bastante
cá para cima.
E depois 5 factorial é ainda mais alto.
Se juntarmos estes, eu disse também que
0 factorial é 1, portanto diria que este é o gráfico.
Portanto, em teoria, deveríamos ser capazes de encontrar valores
entre números inteiros, digamos, o número 1 e meio.
1 e meio factorial.
O que é 1 e meio factorial?
Portanto os matemáticos fizeram isso.
Generalizaram a ideia.
E aqui está a ideia de 1 e meio factorial.
Chamamos-lhe Gama.
Esta é a letra grega Gama.
Chamamos-lhe Gama de.
E depois escrevemos--
de facto, isto agora está a ficar um pouco mais sofisticado.
Dizemos que Gama de n é igual ao integral entre 0 e
infinito de--
vamos escolher alguma coisa--
t elevado a n menos 1, multiplicado por e elevado a
menos n dn.
Algumas pessoas não estarão familizarizadas com isto.
Alguns estarão familiarizados com isto.
Outros não estarão.
É um conceito matemático muito mais complicado, mas bateria certo
com os factoriais.
Mas dá-vos valores pelo meio também.
Define esta linha.
Há uma coisa que eu devo dizer.
É um pouco inesperado, mas se pegarmos num valor para
um número inteiro, Gama de n, e n for inteiro, isto dá na verdade
n menos 1 factorial, portanto é preciso ter cuidado com isto.
Pode apanhar-vos desprevenidos.
Alguma dor, ali.
Então que sentido tem haver uma função que devolva
factoriais entre números inteiros quando não é possível arrumar
1 objecto e meio?
É uma generalização, e revela-se bastante útil
em vários aspectos.
Especificamente, estou a pensar em probabilidade.
Podemos usá-la em fórmulas que encontramos em probabilidades
considerando tempo contínuo em vez de
simplesmente arrumar objectos com uma probabilidade discreta.
Estamos a começar a pensar em eventos contínuos.
O tempo é o melhor exemplo.
Depois começamos a generalizar conceitos,
portanto precisamos de um factorial generalizado.
BRADY HARAN: 9, 6, e 3.
20.
44.