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SIMON PAMPENA: Isso fantstico!
Eu aprendi sobre isso na universidade, a existencia dos
numeros transcedentais.
O nome em s j um chamativo.
porque, eles so trancendentais.
Sabe, algo pelo quais voc se interessa,
como, experincias extracorpreas e coisas assim.
Mas a ideia que os matemticos deram esse nome
a nmeros, nmeros, com os quais
estamos acostumados.
Como o pi, voc pode expressa-lo como uma expanso decimal.
Ele nunca ser exato, mas um nmero que voc
est acostumado.
Tem essa propriedade que voc nem fazia ideia.
OK, ns vamos jogar um jogo, e vamos tentar
Entender os nmeros transcendentais com esse jogo.
No jogo temos que reduzir nmeros a zero.
o que queremos fazer.
Nas regras voc s pode usar nmeros inteiros para isso,
e voc pode somar, subtrair, multiplicar e elevar
tudo potncia que quiser, mas ela tem de ser
um nmero inteiro.
OK, ento vamos jogar o jogo.
OK, qual o seu nmero favorito?
BRADY HARAN: Eu gosto do nmero 10.
SIMON PAMPENA: 10?
BRADY HARAN: Sim, mas ele me parece um nmero fcil.
SIMON PAMPENA:Claro.
Tudo bem.
Voc escolheu o 10 na base 10?
BRADY HARAN: 10 na base10.
SIMON PAMPENA: Sim, OK.
Ento 10 na base 10.
OK, vamos l.
mos comear o jogo.
Ento, queremos que isso chegue a zero, a primeira coisa que podemos fazer
multiplicar por zero.
Mas isso voc pode fazer com qualquer nmero, porque qualquer nmero
vezes zero ...
BRADY HARAN: zero.
SIMON PAMPENA: Bingo.
Voc poderia fazer isso, mas no seria muito interessante.
Mas o que interessante que se tentarmos usar
Essas regras, ns conseguimos, OK, o que aconteceria se
tirarmos 10 disso?
Conseguimos.
Chegamos l.
Isso parece meio trivial, mas realmente um
bom comeo.
Usamos um nmero inteiro, e usamos a subtrao.
Que tal mais um?
Que tal 3/4?
Primeiro, vamos multiplicar por 4.
OK, essas coisas se cancelam.
Ficamos com 3.
Agora tiramos 3, e temos zero.
Excelente.
Mas que tal algo mais louco?
E se escolhermos um nmero realmente louco?
e se pegarmos a raiz quadrada de 2?
Eu acho que vocs conhecem a raiz quadrada de 2.
BRADY HARAN: Sim, conhecemos.
Ele irracional, no ?
SIMON PAMPENA: um nmero irracional,
irracional significa que ele no pode ser expresso por uma frao.
A raiz quadrada de 2 um nmero bem estranho,
e essa coisinha aqui, eu costumo dizer essa coisinha
Isso como uma pequena frase.
Ela diz, qual nmero multiplicado por ele mesmo
d esse nmero?
assim que eu vejo o sinal da raiz quadrado.
Eu no sei qual nmero multiplicado por ele mesmo
me d 2, mas isso no importa.
Agora, o que vamos fazer tentar fazer com que isso
seja zero, OK?
Primeiro, ns temos que...
BRADY HARAN: OK, esse, Eu consigo fazer esse.
SIMON PAMPENA: Bem, me mostre.
BRADY HARAN: Eu conheo esse se elevarmos a potncia...
SIMON PAMPENA: Sim.
Qual potncia?
BRADY HARAN: Vamos elevar a potncia de 2?
SIMON PAMPENA: Certo, isso
multiplicar por ele mesmo.
E ento o que voc tem no meio?
BRADY HARAN: Vamos ficar com 2, eu acho.
SIMON PAMPENA: Isso a.
Agora ns temos um 2 ali, O que faremos agora?
BRADY HARAN: Tiramos 2.
SIMON PAMPENA: Isso!
Olhe agora.
Voc acabou de pegar um nmero irracional, e com
esse jogo, ns trouxemos ele at zero.
E quanto a raiz quadrada de menos 1?
Ns fomos de nmeros que voc conhece e ama
fraes, OK, at irracionais.
Esses so nmeros irracionais.
Agora ns chegamos no que chamamos de complexos, ou como alguns
chamam, imaginrio, que um nome muito ruim.
OK, o que podemos fazer com esse aqui para
faze-lo ser zero?
BRADY HARAN: Bem, eu elevo a potncia de dois e somaria 1.
SIMON PAMPENA: Isso a.
pegou rpido, amigo.
Ento vamos l.
Ns conseguimos jogar esse jogo com 3 ou 4 tipos
bem diferentes de nmeros, algo bem legal.
Mas que tal algo mais?
Que tal a raiz quadrada de 2 mais a raiz quadrada de 3?
O que voc pode fazer com isso?
Ento, vamos ver.
A raiz quadrada de 2 mais a raiz quadrada de 3.
Vamos elevar isso por 2.
OK, agora isso um pouco do ensino mdio.
2 mais 2 vezes isso mais isso, que d 2 raizes quadradas de 2 vezes
vezes a raiz quadrada de 3 3 mais isso ao quadrado.
Ento isso 3.
Ento reduzimos isso para 5 mais 2 pela raiz quadrada de 2
pela raiz de 3.
OK, isso o que ns fizemos.
Ns fizemos isso a, mas olhe o que apareceu.
Um nmero que podemos usar, um nmeo inteiro.
Ento o que faremos nesse lado, vamos somar 5 com 2 vezes
a raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de 3,
vamos sutrair 5.
Ento vamos acabar com 2 vezes a raiz quadrada de 2 vezes
raiz quadrada de 3.
E isso bom, porque no tem
um sinal de mais no meio.
O que podemos fazer agora?
Bem, vamos elevar tudo ao quadrado.
Ento 2 ao quadrado 4, e a raiz quadrada de 2 ao quadrado dois.
E a raiz quadrada de 3 ao quadrado 3.
OK, esse ponto um outro modo de dizer vezes.
E esse aqui 2/8, 2 4's so 8,
oito 3 vezes 24, pronto.
Ento se temos 24, subtraimos 24, boom, chegamos a zero.
O que eu queria te mostras, a razo por que eu queria te mostrar isso
por causa de todos esses nmeros esses nmeros diferentes,
complicados, no relacionados, mas vou te mostrar algo.
Agora, vamos trocar todos os nmeros por um x
x menos 10 0, 4 x menos 3 0, x ao quadrado menos 2 0,
x ao quadrado mais 1 0, e esse aqui x ao quadrado menos 5, tudo isso
ao quadrado, menos 24 igual a 0, que, se ns
expandirmos, ento olhe.
Todos esses se parecem com problemas de algebra.
Ento o que fizemos no jogo, pegamos nmeros, e
Tentamos zera-los.
Mas o oposto poderia ter sido feito aqui, poderiamos resolver o x.
Agora, esse o tipo de coisa que voc aprende na escola.
Isso algebra, e isso acontece para todos os
ue pertencem a essa famlia, at a raiz quadrada de
menos 1, um nmero algbrico.
Ns encontramos uma casa para alguns dos grandes astros
da matemtica, os nmeros que causaram grandes problemas e cismas, como
o que a raiz quadrada de menos 1?
Ou raiz quadrada de 2 de tempos antigos,
da Era de Pitgoras
Pessoas morreram por causa desse nmero.
Mas de algum modo encontramos uma famlia por esse nmero,
os Nmeros Algbricos.
OK.
So agora, vamos precisar de outra folha de papel.
Ns escolhemos alguns nmeros.
Que tal um nmero especial?
Que tal e?
Esse nmero aqui...
se voc no est familiarizado com ele... Ele um nmero
fantstico para matemticos.
E o que , uma funo uma funo de e
em x, e em qualquer nmero que voc quiser elev-lo, OK?
No grfico, quando fazemos o grfico, o valor y
inclinao da tangente nesse ponto.
Ele realmente muito importante para o crescimento natural.
um nmero realmente fantstico.
Ele significa muita vida, mas ele realmente
um numero muito maluco.
Muito, muito maluco.
Uma expresso que eu posso the mostrar na verdade um
somatrio infinito.
Eu vou deixa-lo no cho agora.
1 mais 1 sobre 1 mais 1 sobre 2 mais 1 sobre 6 mais 1 sobre 20...
tanto faz, ele continua para sempre.
Mas, ns conseguimos jogar o jogo com esse nmero?
Podemos igualar esse nmero a zero usando
as regras do nosso jogo?
BRADY HARAN: Podemos fazer isso com algebra?
SIMON PAMPENA: Podemos fazer isso com algebra?
Isso a.
BRADY HARAN: Exato.
Podemos?
SIMON PAMPENA: Bem, por eras e eras e eras, e tem estado
por a por 400 anos.
Ningum realmente sabia.
Quero dizer, esse nmero muito, muito importante
e ningum tinha ideia.
Mas acontece que no podemos.
BRADY HARAN: No pode ser feito.
SIMON PAMPENA: No pode ser feito, e eu vou te mostrar o porque.
Bem, eu vou tentar te mostrar o porque, mas s tentar por que
algo bem difcil.
Existiu um cara chamado Charles Hermite, e ele
basicamente mostrou que...
certo, eu vou usar esses simbolos aqui, porque
Eu no sei como a formula vai ser.
Ele mostrou que se voc jogar o jogo, certo,
elevando e a qualquer potncia que voc quiser, qualquer potncia inteira
Multiplicando ele por qualquer nmero inteiro.
Caso voc assuma que exista algum valor da algebra
que iguale e a zero, ele mostrou que isso o levar
uma contradio.
Basicamente ele mostrou que existia um numero, um nmero
inteiro entre 0 e 1.
obviamente no existe.
Obviamente, no existe.
Mas isso o que se faz em matemtica se queremos mostrar
algo que impossivel meio que assumimos
que aquilo verdade, e ento voc mostra que aquilo cria
uma contradio.
Ento, isso surpreendente.
Ento foi isso que Hermite descobriu, isso
realmente muito fantstico...
Todos deveriam ficar animados com isso, porque e
no algbrico.
Ento, o que ele ?
Bem, de certo modo ele trancende o que ns somos capazes de fazer.
A algebra o que usamos para construir os nmeros
O nosso mundo construido com algebra.
Qualquer nmero que voc veja no seu cotidiano
a vida tem muito a ver com algebra.
Sempre estamos somando, sutraindo, elevando coisas potncias,
mas e no .
De algum modo ele transcende a matemtica.
Ento por isso que ele chamado de transcendental.
na verdade [Inaudvel]
Eu posso te mostrar outro alm do e.
Sabe por que, porque...
Bem, essa a parte interessante.
e no foi o primeiro transcendental.
Descobriram um nmero transcendental,
Liouville, acho que era esse o nome, descobriu
um nmero transcendental muito antes disso tudo,
30 anos antes.
Mas foi por meio de construies.
Ento ele estava tentando encontrar um nmero,
baseado nas regras do jogo, que no funcionariam.
A diferena que e j era, ele j era
um super astro da matemtica, e.
As pessoas j o conheciam.
Ento, essa era uma informao extra.
Mas ento as pessoas perguntaram,
Mas e o pi?
BRADY HARAN: Superastro
SIMON PAMPENA: O super astro.
Esse o superastro da matemtica.
2,000 anos de idade.
O que o pi?
Pi algbrico ou transcendental?
Voc tem que imaginar como um matemtico,
OK, voc ama pi.
de se esperarar.
Voc no pode no gostar de pi.
Ento esse tipo de coisa, algo que voc pode adicionar
ao conhecimento sobre pi.
Voc pode adicionar algo novo o que incrvel.
Quero dizer, eu poderia morrer feliz se fizesse isso.
Ento essa questo apareceu o que pi?
algbrico ou transcendental?
E foi assim que, provavavelmente em 1880, que um cara chamado
Lindemann apareceu com uma resposta.
Ele nos mostrou, e novamente, isso uma coisa realmente dificil,
ele mostrou, ele mostrou que e elevado qualquer nmero algbrico
transcendental.
Por exemplo, e elevato 1, e.
Isso uma coisa boa, porque e um nmero transcendental
porque isso j foi provado.
porque 1 algbrico.
seu nmero favorito, Brady, e elevado 10.
Isso transcendental, certo?
e elevado raiz de 2, e elevado i.
Certo?
E quanto a pi?
Como podemos usar esse fato aqui, e elevado a, sendo a
um algbrico, transcendental?
Como voc pode usar isso para mostrar que pi
transcendental?
OK, assim.
De novo, uma prova por contradio.
Ento, isso foi o que ele fez.
Ele disse, assumindo que pi algbrico
Ento pi algbrico.
Isso significa que h uma formula para ele.
OK, e qual a formula?
Quem sabe?
Porque ela no existe.
Mas, por exemplo, se voc um engenheiro voc diria
pi 22 sobre 7.
Certo?
OK, legal.
Ento isso significa que pi vezes 7 menos 22 igual a zero.
Correto?
Como um exemplo.
Isso no verdade, alis.
De maneira alguma o que eu disse verdade.
No se atreva a editar e dizer que o Simon disse que verdade.
porque no .
Pi 22 sobre 7.
Pi 22 sobre 7.
Eu sei uns poucos decimais de pi e isso,
claramente no verdade.
E um fato, s vou conta ele para voc, outra boa
boa aproximao de pi a raiz cbica de 31.
realmente bem prxima.
ento essa poderia ser outra formula.
Ento isso significa que se elevarmos isso ao cubo, e subtrairmos
31, isso igual a zero.
OK, ento ns temos essas equaes falsas.
Isso algo ruim.
algo ruim.
Vamos usar outra equao muito conhecida ok?
e elevado i vezes pi igual a menos 1.
Essa a Identidade de Euler.
Essa p uma equao bem famosa, no?
Mas vamos dar uma olhada nela.
Olhe o que ela diz. e elevado potncia de i vezes pi negativo 1.
Agora, i vezes pi, OK, se assumirmos que pi algbrico, isso significa que i vezes pi
tem de ser algbrico.
Ento e elevado um nmero algbrico tem de ser transcendental.
Mas, menos 1 transcendental?
No , porque se jogarmos aquele jogo e somarmos 1
ns o igualmos a zero.
Vamos imaginar um exemplo sobre essa frmula
matemtica, imagine isso como um filme
Voc est fazendo um filme matemtico, e voc tem a maior
estrela de Hollywood para comear.
Na sua prova.
Estrelando na sua prova.
Ento aqui temos, e elevado a i vezes pi menos 1.
Se de fato isso fosse algbrico, isso teria de ser
transcendental, ento isso significa qe i vezes pi no pode ser algbrico.
E quem o culpado?
Bem, no a raiz quadrada de menos 1.
o pi.
Ento pi no deve ser algbrico, o que significa qe pi deve ser
transcendental.
H algo realmente complicado acontecendo aqui,
e por isso que eu gosto.
Porque nas coisas complicadas onde toda a
a incrvel matemrica est.
Em matemtica, a perfeio importante.
Mas ento, qualquer um quer use a matemtica...
para a fsica ou qumica, ou qualquer coisa que queiram fazer...
ento eles podem usar algum tipo de aproximao.
Eu no estou interessado em aproximaes.