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O que é prova?
e por que ela é tão importante em matemática?
Provas fornecem uma fundação sólida para matemáticos,
lógicos, estatísticos, economistas, arquitetos, engenheiros,
e muitos outros construirem e testarem suas teorias.
E elas são simplesmente incríveis!
Deixe-me começar do início.
Vou lhes apresentar um camarada chamado Euclides.
Como em, "aqui está olhando pra você, Clides."
Ele viveu na Grécia há cerca de 2.300 anos,
e é considerado por muitos o pai da geometria.
Portanto, se vocês se perguntavam para onde enviar suas cartas sobre geometria,
Euclides de Alexandria é o cara a agradecer pelas provas.
Euclides não é conhecido por ter inventado ou descoberto muito da matemática
mas ele revolucionou o jeito como ela é escrita,
apresentada e pensada.
Euclides resolveu formalizar a matemática estabelecendo as regras do jogo.
Essas regras são chamadas axiomas.
Uma vez que se tenha as regras,
Euclides diz que se deve usá-las para provar aquilo que se pensa ser verdade.
Se não for possível, então seu teorema ou ideia
deve ser falso.
E se seu teorema é falso, todos os outros que vem depois dele ou o usam
devem ser falsos também.
Como uma viga malposicionada que pode derrubar a casa inteira.
Então, é isso que as provas são:
o uso de regras bem-estabelecidads para provar acima de tudo que um teorema é verdadeiro.
Usa-se então esses teoremas como blocos
para construir a matemática.
Vejamos um exemplo.
Digamos que eu queira provar que estes dois triângulos
são do mesmo tamanho e forma.
Em outras palavras, são congruentes.
Bem, um jeito de fazê-lo é escrever uma prova
que mostre que os três lados de um triângulo
são congruentes aos três lados do outro.
Então, como provamos?
Primeiro, vou escrever o que sabemos.
Sabemos que o ponto M é o ponto médio de AB.
Também sabemos que os lados AC e BC já são congruentes.
Agora vejamos, o que o ponto médio nos diz?
Por sorte, eu sei a definição de ponto médio.
É basicamente o ponto no meio.
Isso quer dizer que AM e BM tem o mesmo comprimento,
Já que M está exatamente na metade de AB.
Em outras palavras, os lados de baixo de cada um dos nossos triângulos são congruentes.
Vou colocar isso como passo dois.
Ótimo! Até agora tenho dois pares de lados que são congruentes.
O último é fácil.
O terceiro lado do triângulo da esquerda
é CM, e o terceiro lado do triângulo da direita é -
bem, CM também.
eles compartilham o mesmo lado.
Claro que ele é congruente a ele mesmo!
Essa é a propriedade reflexiva.
Tudo é congruente a si mesmo.
Vou colocar isso como passo três.
Ta ran! Você acabou de provar que todos os três lados do triângulo da esquerda
são congruentes a todos os três lados do triângulo da esquerda.
E ainda, os dois triângulos são congruentes
por causa do teorema lado-lado-lado de congruência de triângulos.
Quando termino uma prova, gosto de fazer como euclides fazia.
Ele marcava o fim da prova com as letras QED.
É latim para "quod erat demonstrandum,"
que se traduz literalmente para
"como queria se demonstrar." (CQD em português)
Mas eu penso nisso como "veja o que eu acabei de fazer!"
Posso ouvir o que você está pensando:
Por que eu estudo provas?
Uma razão é que elas podem te permitir ganhar qualquer discussão.
Abraham Lincoln, um dos maiores líderes de todos os tempos de nossa nação
costumava ter uma cópia dos Elementos de Euclides em sua mesa de cabeceira
para manter a mente em forma.
Outra razão é que você pode ganhar um milhão de dólares.
Você me ouviu.
Um milhão de dólares.
Esse é o prêmio que o Instituto Clay Mathematics em Massachusetts
está oferecendo para quem provar uma das muitas teorias sem prova
que são chamadas de "os problemas do milênio."
Alguns destes foram resolvidos na década de 90 e 2000.
Mas além de dinheiro e discussões,
provas estão em todo lugar.
Elas são as bases da arquitetura, arte, programação e segurança na internet.
Se ninguém entendesse ou pudesse gerar uma prova,
não poderíamos evoluir essas partes essenciais do nosso mundo.
Finalmente, todos sabemos que a prova está no pudim.
e pudim é delicionso. QED.(CQD)