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Professor: Hoje, vou falar com vocês
sobre órbitas elípticas e as famosas leis de Kepler.
Primeiro eu quero rever com vocês brevemente
o que sabemos sobre as órbitas circulares,
então eu escrevi na lousa tudo o que sabemos
sobre órbitas circulares.
Há um pequeno objeto de *** m
que forma um círculo ao redor da *** M.
Este poderia ser o Sol, este poderia ser a Terra.
Ele tem raio R, circular.
Nós sabemos que há a equação um
para determinar o tempo que leva para dar uma volta.
A forma que encontramos
foi igualando a força centrípeta sobre a pequena *** m
à força gravitacional.
Além disso, a velocidade em órbita,
talvez eu deva dizer a velocidade instantânea em órbita,
também segue o mesmo tipo de raciocínio.
Então nós temos a conservação da energia mecânica,
a soma da energia cinética e energia potencial.
É uma constante, não está mudando.
Você vê lá o primeiro componente da energia cinética,
que é ½•m•v²,
e então você vê o termo que é a energia potencial.
Nós definimos a energia potencial como sendo zero no infinito
e é por isso que todas as órbitas limitadas tem total de energia negativa.
Se a energia total é positiva, a órbita não é limitada.
E quando você adicionar esses dois acima,
você tem uma incrível coincidência que discutimos antes.
Nós chegamos a uma resposta muito simples.
A velocidade de escape você encontra através desse total E, que é zero,
então esta parte da equação é zero.
Fora aparece a velocidade instantanea com a qual você pode escapar
a atração gravitacional de M,
o qual é a √2V.
E eu quero lembrar que para órbitas perto da Terra,
o período para ir ao redor da Terra é de cerca de 90 minutos,
e a velocidade instantanea, essa velocidade, então,
que você vê na equação dois,
é de cerca de 8km/s,
e a velocidade de escape da órbita
seria de cerca de 11,2km/s.
E para a Terra que gira em torno do Sol,
o período seria de cerca de 365 dias,
e a velocidade da Terra em órbita
é de cerca de 30km/s,
só para refrescar sua memória.
Agora, órbitas circulares são especiais.
Em geral, as órbitas são elipticas,
mesmo assim eu preciso dizer
que a maioria das órbitas dos planetas em nosso sistema solar
são muito próximo de circular, mas não exatamente circular.
Mas as soluções em geral requerem uma órbita elíptica.
E eu primeiro quero discutir com vocês
as três famosas leis de Kepler do início do século 17.
Estas foram declarações brilhantes que ele fez.
O interessante é que
antes que ele fizesse essas declarações brilhante,
Ele publicou mais absurdo do que ninguém.
Mas finalmente chegou a dois... Três ovos de ouro.
E o primeiro ovo de ouro, então, é que as órbitas são elipticas,
ele falava sempre sobre os planetas, e que o Sol é um dos focos.
Este é a primeira lei de Kepler.
Elas são de cerca de 1618.
Segundo... A segunda lei de Kepler é,
um pouco bizarro como ele descobriu, um feito incrível.
Se você tomar uma elipse, e você colocar o Sol aqui em foco,
isso é altamente exagerado
porque eu disse a voces que a maioria das órbitas parecem circulares,
e o planeta vai daqui até aqui
em um determinado período de tempo.
E você comparar isso com o planeta indo daqui até aqui
em um determinado período de tempo.
Então, Kepler descobriu que, se essa área aqui
é a mesma que essa área aqui,
então o tempo para ir daqui até aqui
é o mesmo que ir daqui para ali.
Um feito incrível para chegar a essa ideia.
E isso é chamado de "áreas iguais, tempos iguais."
De alguma forma, ele tem o jeito
da conservação do momento angular.
E então sua terceira lei que foi
se você pegar o período orbital de uma elipse,
ele é proporcional à terceira potência
da distância média ao sol.
E ele estava tão satisfeito com o resultado
que ele escreveu sobre isso.
Vou mostrar aqui os dados
que Kepler tinha disponível em 1618,
grande parte do trabalho feito por, naturalmente, astrônomos,
observadores como Tycho Brahe e outros.
Você vê aqui os seis planetas que eram conhecidos na época
e a média da distância até o sol.
Para a Terra é 1 porque trabalhamos em unidades astronômicas.
Tudo está relacionado com a distância da Terra.
Isso é 150 milhões de quilômetros.
E a Terra leva 365 dias para ir ao redor do Sol.
Júpiter, a cerca de 12 anos, e Saturno, cerca de 30 anos.
E então, quando ele toma ese número à potência de três
e este número ao quadrado, e ele divide os dois,
ele consegue números que são incrivelmente constante.
E essa é a sua terceira lei.
A Terceira Lei nos leva imediatamente
a dependência do inverso do quadrado da gravidade,
que ele não tinha conhecimento,
mas Newton, depois, coloca tudo junto.
Mas ele alegremente escreve
"No início, achei que estava sonhando...
Mas é absolutamente certo e exato que
a relação entre o período de quaisquer dois planetas
é igual à relação da distância média elevada a 3/2."
E ele escreveu isso em 1619.
Assim, as órbitas são elipses em geral.
E agora eu quero rever com vocês
o que eu tenho lá na lousa sobre elipses.
Você vê uma elipse lá?
M, poderia ser a Terra, poderia ser o Sol,
está na posição Q.
A elipse tem um semi-eixo maior a,
assim a distância de P até A, perigeu até apogeu, é 2a.
Se M for a Terra,
então poderíamos chamar o ponto de maior aproximação perigeu
e o ponto mais distante da Terra,
poderíamos chamar de apogeu.
Se o M for o Sol,
poderíamos chamar de afélio e periélio.
Então você vê o m em órbita,
você vê o vetor posição rq
e ele tem uma certa velocidade v.
E assim a energia mecânica total é conservada.
A soma da energia cinética e energia potencial não muda.
O primeiro termo é a energia cinética, ½•m•v²,
e o segundo termo é a energia potencial,
não é diferente da equação três para órbitas circulares,
exceto que agora |R|, que era um número fixo em um círculo,
agora é |r|, e |r| muda, é claro, com o tempo.
Também a velocidade v, na equação cinco.
também vai mudar com o tempo
porque é uma órbita elíptica.
Não vai mudar com o tempo na equação dois
e na equação três.
Agora dou para vocês um resultado que não provei,
e isso é que a energia mecânica total,
que possui estes dois termos, que vocês ja entederam,
também é igual a -m•M•G/2a,
e a é o semi-eixo maior.
E compare o número cinco com o número três,
então vocês veem que eles são irmãos e irmãs.
A única mudança é que o que era |R| antes
agora é |r|, o semi-eixo maior.
E se você quiser calcular o tempo para ir ao redor da elipse,
então você obtém uma equação para T²,
que é quase idêntico à equação um
para a órbita circular,
exceto que agora o raio tem que ser substituído por a,
que é o semi-eixo maior.
E a velocidade de escape pode ser calculada
exatamente da mesma maneira que você calcula a velocidade de escape
com a equação número quatro.
Tudo o que você faz é zerar a energia total
e então resolver a equação três e cinco
e colocar a velocidade que você precisa
para torná-lo todo o caminho até ao infinito.
E esse é, no caso da órbita circular, √2v.
Então, esses são os números
que vamos usar hoje, as equações.
E há uma coisa que já é bastante notável
e pouco intuitivo. Pouco intuitivo, no mínimo.
Se você tiver várias órbitas
que têm o mesmo semi-eixo maior,
o periodo é o mesmo e a energia é a mesma,
e que de nenhuma maneira é óbvio.
Então, essa é uma órbita, pense nisso como sendo uma elipse,
e esta é outra.
Esta distância é a mesma que esta distância.
Acabei de fazer, dessa maneira.
Isso significa que, de acordo com a equação de cinco e seis,
que ambas as órbitas têm exatamente a mesma energia mecânica,
e ambas as órbitas têm os mesmos períodos.
Então, para percorrer esta órbita circular
será gasto a mesma quantidade de tempo para ir ao redor desta,
o que não é óbvio.
Agora eu quero começar com uma condição inicial muito geral
de um objeto, m, em órbita... Em uma órbita elíptica.
E eu quero ver como podemos obter
todas as informações sobre a elipse
que gostaríamos de descobrir.
Então, eu estou lhe dando as condições iniciais.
Então aqui é uma elipse, aqui está P e aqui está A.
Se isto é uma elipse em torno da Terra,
então isso seria perigeu e este seria o apogeu.
A *** é M, este é o ponto Q.
Deixe-me pegar uma régua para que eu possa traçar algumas linhas.
Assim, a distância AP=2a, a sendo o semi-eixo maior,
e nosso objetivo passa a estar aqui, a *** m,
e essa distância é r₀.
Pense nisso como sendo o tempo zero.
E no tempo zero, quando ela está lá,
ela tem uma velocidade nessa elipse.
Que é v₀.
E existe um ângulo entre o vetor posição e v₀.
Eu chamo isso de φ₀.
Então, eu estou te dando M, estou te dando v₀,
estou te dando o vetor r₀ e estou te dando φ₀.
E agora eu vou perguntar a vocês,
podemos descobrir a partir dessas condições iniciais
quanto tempo leva para esse objeto para dar a volta?
Podemos descobrir o que QP é?
Podemos descobrir o que o semi-eixo maior é?
Podemos descobrir qual a velocidade no ponto P,
na maior aproximação quando este ângulo é de 90°?
E podemos descobrir qual é a velocidade
quando o objeto m está no ponto mais distante, apogeu?
Será que podemos encontrar todas essas coisas?
A resposta é sim.
P é o mais fácil de encontrar, o semi-eixo maior.
Dirijo-me a equação número cinco,
que é a conservação da energia mecânica.
E a conservação da energia mecânica
diz que a energia total
é a energia cinética mais energia potencial
é igual a ½•m•v₀²,
isso quando o objeto está na posição D,
-m•M•G/|r₀| na posição D.
Isso nunca pode mudar.
Este é o mesmo em toda a órbita inteira,
por isso deve ser, de acordo com a equação de cinco,
-m•M•G/2a.
E assim você tem uma equação com uma incógnita, que é a,
porque você conhece todas as outras coisas,
M cancela... M sempre cancela quando você lida com a gravidade,
assim você só tem a como incognita.
Então, está feito.
Se a energia total for positiva,
então para que isso seja positivo, a que ser negativa.
Isso é um absurdo física, é claro,
de modo que este só é válido para órbitas fechadas.
Assim, valores positivos para o E total não são permitidos.
Assim que tiver a, use...
isso descobrimos da equação cinco.
Se você agora aplicar a equação número seis,
imediatamente descobre T, o período orbital,
porque a única coisa que você não sabia ainda era a,
mas vocês conhecem a agora.
Então, nós também sabemos quanto tempo leva
para o objeto dar uma volta na órbita.
E eu tento ser quantitativo com vocês.
Passo a passo, enquanto analisamos isso.
Vou aplicar isso a um caso específico
para alguém indo ao redor da Terra.
Tudo o que eu estou dizendo a vocês hoje,
incluindo todos os exemplos numéricos,
estão em um folheto que tem seis páginas,
que eu escrevi especialmente para vocês.
Estará na web,
nós não iremos imprimi-lo aqui, é um desperdício de papel.
É 1999 e é para isso que temos a Web.
Então você pode decidir por si próprio o quanto anotar,
quanto tempo você pretende gastar com anotações,
e até que ponto você quer se concentrar
e tentar seguir os passos.
Cabe a você.
Tudo está lá,
literalmente tudo, todos os exemplos numéricos.
Tomamos para M... Tomamos a Terra,
e isso é 6•10²⁴ kg.
Então esse é meu M.
Eu prometi que vocês conheceriam M.
Eu darei |r₀|.
Isso é 9.000 km.
Essa é a localização do ponto D.
Eu dou as condições em D.
A velocidade instantânea no ponto D é de 9,0 km/s,
e eu vou lhe dar φ₀=120°.
Tudo o mais, devemos ser capazes de calcular agora
a partir destes números.
Primeiro de tudo, com a equação cinco,
você pode se convencer com esses números
que a energia total é de fato negativo.
Claro, se eu fizer o total de energia positiva,
não é uma elipse, assim então está tudo acabado.
É negativo, é uma elipse.
Assim, com número a equação cinco, então eu descubro a.
Certo? Porque essa é uma equação com uma incógnita,
e eu coloquei os números,
você pode confirmá-los e verificá-los em casa,
e eu acho que a é muito grande.
a é cerca de 50.000 km.
Isso é enorme.
Isso é quase infinito, não chega a ser.
Lembre-se, começa com 9.000 km,
mas a é 50.000 km.
Isso significa que 2a é 100.000 quilômetros.
Por que é tão grande?
Bem, a resposta está na avaliação da velocidade de escape.
A velocidade de escape da *** m
quando ele está na posição D,
para estes parâmetros de entrada,
√(2M•G/r₀),
e isso é 9,4 km/s.
Bem, se você precisa de 9,4 km/s
para fazê-lo ir até o infinito,
e você tem 9 km/s,
você está bem perto.
Portanto, esse é o motivo por que este semi-eixo maior
é de fato um número tão horrendo.
Não ha nenhuma surpresa.
Se agora eu uso equação número seis,
então acho o período,
e acho que ele leva cerca de 31 horas
para este objeto dar uma volta ao redor da Terra.
Até agora, tudo bem.
Agora queremos saber que situação é essa
com o perigeu e com o apogeu.
Podemos calcular a distância |QP|?
Podemos calcular a velocidade instantânea no ponto P e na posição A?
E agora vem o nosso conhecimento.
Agora vamos aplicar, pela primeira vez em sistemas como esse,
a conservação do momento angular.
O momento angular é conservado sobre este ponto Q,
apenas sobre esse ponto Q.
Não é conservada sobre qualquer outro ponto, mas tudo bem.
Tudo que eu quero é o ponto Q.
É onde está localizado M.
Qual é o valor desse momento angular?
Bem, vamos primeiro usar o ponto D.
Quando o objeto está em D,
o valor do momento angular
é m•v₀•r₀•senφ₀.
Esta é a situação em D.
Porque nós temos um senφ₀?
Porque nós temos uma cruz entre r e v,
e com um produto cruzado, você tem o seno do ângulo.
Então essa é a situação no ponto D.
Qual é a situação no ponto P?
Bem, no ponto P, o vetor velocidade
é perpendicular à linha QP,
então o seno desse ângulo é 1.
Então agora eu simplesmente faço m•vp•|QP|.
E você pode fazer o mesmo para o ponto A.
Você pode escrever m•va•|QA| .
Eu não estou fazendo isso.
Você vai ver logo porque eu não estou fazendo isso.
A natureza é muito gentil.
A natureza me dará essa ultima parte de graça.
Este, por sinal, é a conservação do momento angular
sobre esse ponto Q onde a *** está localizada.
Eu tenho aqui uma equação com duas incógnitas, vp e ||QP|,
então eu não posso resolver.
Então eu preciso de uma outra equação.
Bem, é claro, existe outra equação.
Temos a conservação da energia mecânica.
Então agora podemos dizer que a energia total deve ser conservada,
e a energia total é a metade...
Eu faço isso no ponto P...
É igual a ½•m•vp², essa é a energia cinetica,
-m•M•G/|QP|.
Esta é a energia potencial
quando a distância entre M e m é |QP|.
Com este número, sabemos,
porque é -M•G/2a,
essa é a nossa equação número cinco.
Oops! Eu escorreguei até aqui.
Você deve ter notado isso.
Deixei cair o m que deveria estar aqui.
Desculpem-me por isso.
E agora nós temos aqui um grande momento em nossas vidas
que temos aplicado ambas as leis.
Esta é a conservação da energia mecânica.
E agora eu tenho duas equações com duas incógnitas,
|QP| e vp, para que eu possa resolver ambas.
Observe que a segunda equação
é uma equação quadrática em vp.
Portanto, você vai conseguir duas soluções.
E as duas soluções,
uma, vp, lhe dará a distância QP.
O outro será va, o que lhe dá o distância QA.
Como é que nós coseguimos duas soluções?
Bem, esta é apenas uma equação estúpida.
Esta equação não sabe que eu usei a designação P .
Eu poderia ter usado a designação A aqui e colocar aqui |QA|.
Esse é o termo que eu deixei de fora.
E, portanto, quando eu resolver as equações,
recebo ambos os vp e va, porque essas são as situações
que o vetor velocidade
é perpendicular ao vetor posição.
E se eu usar agora os nossos resultados numéricos,
e eu resolvo para vocês a equação quadrática,
duas equações com duas incógnitas,
então eu acho que |QP|, você pode querer verificar isso em casa,
é cerca de 6,6•10³ km.
Isso significa que ele é apenas 200 km
acima da superfície da Terra.
Naquele baixa altitude, esta órbita não vai durar muito tempo,
e o satélite irá reentrar na atmosfera da Terra.
E isso leva a uma velocidade no ponto P, no perigeu,
de 10,7 km/s.
Minha segunda solução é, então, que QA passa a ser enorme.
Nenhuma surpresa, pois sabemos que o semi-eixo maior
é 50.000 km.
Encontramos 9,3•10⁴ km,
e nós encontramos para va,
esse valor é 14 vezes maior do que este,
e assim a velocidade será de 14 vezes menor.
Eu acho que é 0,75 km/s.
Sim, isso é o que é.
Resultado imediato,
a conservação do momento angular,
|QP|•vp=|QA|•va.
Isso é conseqüência imediata
da conservação do momento angular.
E quando eu adiciono isto, |QA|+|QP|, é melhor eu encontrar 2a,
que no nosso caso é de cerca de 100.000 km,
porque a foi 50.000 km.
Então, quando você adicionar esses dois acima,
você deve encontrar muito perto de 100.000, e na verdade você encontra.
Portanto, agora sabemos tudo o que há para ser conhecido
sobre essa elipse, e que vieram das condições iniciais
dos quatro números que eu dei para vocês.
Sabemos o período, nós sabemos onde é o apogeu,
nós sabemos onde é perigeu, sabemos o período orbital...
Qualquer coisa que queremos saber.
Agora eu quero entrar em um assunto que é bastante difícil
e tem a ver com a mudança de órbita.
Queimar um foguete enquando está em órbita
fará sua órbita vai mudar.
E vou fazer apenas para algumas situações simplificadas.
Eu vou começar com uma órbita circular,
e eu vou disparar o foguete, de modo
que eu só vou disparar ele de tal maneira que a minha velocidade
irá aumentar tangencialmente à órbita,
assim vai aumentar neste sentido
ou vai diminuir neste sentido.
Então, se eu estou indo em uma órbita como essa,
Eu devo lançar meu foguete assim,
ou eu devo lançar o foguete assim,
mas isso é difícil o bastante para nós agora.
Então esta é a nossa órbita circular com raio R,
e na posição X, às 12:00, que é onde eu lanço meu foguete.
A primeira coisa que faço, aumento a energia cinética.
Então eu lanço meu foguete, eu explodo meu foguete, vamos nessa direção.
Eu explodo meu foguete neste sentido,
e assim a velocidade instantânea que era originalmente essa em órbita...
A velocidade aumentará.
Acrescento energia cinética,
e agora tenho uma nova velocidade instantânea, que é maior.
Se a minha velocidade instantânea é maior, então a minha de energia total aumentou.
Eu aumentei a energia cinética.
A queima do foguete é tão curta
que posso considerar após a queimadura
que o objeto ainda está em X.
É um breve queimar.
Assim, a energia cinética aumentou,
a energia potencial é a mesma,
então a energia total aumentou.
E, portanto, a energia total agora é maior
do que a energia total que eu tinha na minha órbita circular.
Mas se esse for o caso,
então claramente 2a deve ser maior que 2R.
Agora vou em uma órbita elíptica, porque a nova velocidade
já não é a velocidade certa para uma órbita circular.
E então o que vai acontecer...
Eu irei obter uma órbita elíptica como essa,
onde 2a deve ser maior que 2R
porque a minha energia total é maior.
E você vê imediatamente,
quando você vai para a equação número cinco,
que se você aumentar a energia total, então seu a vai aumentar.
Ok, então 2a é maior que 2R.
Isso significa também que o período T
deve ser maior que o período de sua órbita circular.
Ótimo.
Até agora, tudo bem.
Minha outra opção é que eu estou indo lançar o foguete
quando eu soltar gás neste sentido,
assim eu tiro a energia cinética.
então, após a queima, a minha velocidade instantânea é menor.
Minha velocidade instantânea é agora mais baixa.
Tirei energia cinética.
Quando eu tiro a energia cinética,
a energia total será menor que a energia circular,
2a será inferior a 2R e o período orbital
será menor do que o período orbital circular
e, portanto, a minha nova elipse será parecido com esta.
E assim, essas são as três situações
que eu quero que vocês examinem com cuidado
porque eu vou precisar delas na próxima história dramática
que tem a ver com o romance entre Peter e Mary.
Peter e Mary são dois astronautas
e ambos estão em órbita
em uma mesma órbita em torno da Terra.
Este é o local onde Peter está, neste momento, no local X,
e este é o lugar onde Mary está.
Eles estão exatamente na mesma órbita, mas posições diferentes.
Eles dão a volta assim
e estão a uma distância um do outro que vou expressar
em termos de uma fração F da circunferência total,
então este arco é igual a F•2π•R.
Isso é o quanto eles estão separados.
E isso significa que para Mary dar toda a volta até o ponto X
seria 1-F•2π•R.
Até agora, tudo bem.
Mary esqueceu seu almoço, cominica-se com Peter
e diz: "Peter, não tenho comida."
Peter se sente muito triste por ela, diz: "Não se preocupe.
Vou atirar-lhe um sanduíche de presunto. "
Então Peter prepara um sanduíche de presunto e quer jogá-lo para Mary
de tal forma que Mary pode pega-lo.
Como Peter pode fazer isso?
Bem, o melhor caminho, o caminho mais óbvio para fazê-lo
é fazer uma órbita para o sanduíche de presunto
cujo período orbital é exatamente o mesmo
como o período para Mary voltar para X.
E eu vou ser mais específico, dando-lhe alguns números,
então você consegue digerir isso melhor.
Suponha que eles estão em uma órbita
com um raio de 7.000 km.
E suponha que F é igual a 0,05,
Assim, a separação entre Peter e Mary é 2.200 km.
Então isso é F•2π•R.
Se você souber o raio R, então, naturalmente,
a velocidade dos astronautas segue imediatamente.
Você tem todas as ferramentas lá.
Assim, como o R=7.000 km,
os astronautas, a agora significa astronautas,
é um dado, não negociável,
e que é de cerca de 7,55 km/s.
7,55 km/s.
E o que também é inegociável
é o período para ir ao redor, que é de 97 minutos.
Tudo isso decorre R.
Ok, se leva 97 minutos para ir ao redor,
então 5% dos 97 minutos é de 5 minutos,
se eu arredondar.
Então, levará cinco minutos para ir.
95% dos 97 minutos é de 92 minutos.
Assim, para Mary dar a volta e retornar ao ponto X
é de 92 minutos, números arredondado.
Então se eu posso dar ao meu sanduíche uma órbita
que tem um período de 92 minutos,
Eu estou feito porque depois dos 92 minutos,
o sanduíche vai voltar para o X e Mary é o X.
É importante que você tenha entendido essa ideia.
Se você entedeu essa ideia, então todo o resto se seguirá.
Assim, o período do sanduíche, após o lance de Peter,
talvez ele tenha de jogar para trás.
Se esse período é de 92 minutos,
quando Mary está aqui, ela vai pegar o sanduíche.
E assim a condição necessária para essa primeira solução,
que é um exemplo óbvio,
é fazer com que o período do sanduíche,
s significa sanduíche, ser 1-F
do período dos astronautas em órbita.
Este é 97 minutos, este é 0,95,
então este é 92 minutos e este é 92 minutos.
Então Mary estará de volta no ponto X.
Qual é o período orbital do sanduíche, após o lance?
Bem, isso é 4π²,
você pode achar isso na equação número seis,
vezes a³/M•G elevado a ½.
Isso deve ser igual a 1-F
vezes o período orbital dos astronautas
que estão em órbita circular.
Então eu pego a equação um,
e isso é 4π²•R³
dividido por G•M elevado a ½.
Essa é uma condição necessária.
Olha, eliminamos M, eliminamos G, eliminamos 4, eliminamos π.
O que não podemos eliminar?
Bem, o que não eliminar é √a³
é igual a (1-F)•√R³.
Assim, a=R•∛(1-F)².
E este é um resultado extremamente simples.
Isso significa que se você conhece a órbita de Peter e Mary, que é R,
e se você sabe o quão longe os dois amantes estão separados,
que é expresso neste F, então você sabe
o semi-eixo maior da órbita do sanduíche.
Que vem desta equação.
Uma vez que você conhece o semi-eixo maior,
você pode calcular, com a equação cinco,
a velocidade do sanduíche.
Porque se a equação número cinco irá dizer-lhe
que -m•M•G/2a,
a sendo agora o semi-eixo maior da órbita do sanduíche,
equivale a ½m•vs² do sanduiche
Isso acontece na localidade X após o lançamento,
após o lançamento significa depois que Peter lançou,
-m•M•G/R,
porque o sanduíche ainda está na posição de R,
mas Peter mudou a velocidade para vs.
E assim, quando você conhece a,
esta equação dará imediatamente vs, e uma vez que você sabe vs,
então você sabe com que velocidade instantânea Peter deve jogar.
Bem, vamos trabalhar com isso em detalhe
no exemplo que temos lá.
Se calcularmos a com os números que nós temos lá,
que você pode facilmente confirmar
porque você pode aplicar esta equação por si mesmo,
Você sabe o que F é, você sabe o que é R.
Então eu acho que a é 6.765 km.
Note que isso é menor do que R.
É melhor que seja, porque é claro que,
após o sanduíche ser lançado,
temos essa elipse verde.
Queremos que esse tempo para ir ao redor
leve menos tempo que Peter teria para dar uma volta.
E se esse tempo é menor
que o tempo que leva Peter para dar uma volta.
Ele tem de jogar o sanduíche para trás,
e, portanto, você espera que o semi-eixo maior
será menor que R, e é.
A velocidade do sanduíche,
que se segue da equação número seis,
a qual era da conservação da energia mecânica,
é 7,42 km/s.
Agora, o que importa não é tanto
qual é a velocidade instantânea do sanduíche,
mas o que importa para o Peter é qual a velocidade instantânea
que ele terá que dar ao sanduíche,
que é vs-va,
e que você tem que subtrair as velocidades,
vs é a velocidade do sanduíche,
va é a velocidade dos astronautas em órbita.
Isso é -0,13 km/s.
E o sinal negativo indica
que ele tem que jogar o sanduíche para trás.
Isso é surpreendente.
Ele está vendo Mary todo o caminho a essa distância,
e para conseguir dar o sanduíche para Mary,
ele não faz isso, mas ele faz isso.
E o sanduíche, em seguida, irá para essa nova órbita,
ainda vai para a frente.
92 minutos depois, ele está aqui, e Mary...
Oh, nós estávamos aqui.
Então ele vai para a frente.
92 minutos mais tarde, o sanduíche está aqui.
92 minutos depois, Mary está está nesse ponto
e pode fazer a captura.
Agora, 0,13 km/s é de 300 km/h,
que é um pouco difícil, mesmo para Peter.
E por isso temos de procurar soluções diferentes.
Isso não vai funcionar.
Esta foi fácil, mas não funciona.
Bem, não há motivo para pressa.
Nós podemos fazer o sanduíche ir ao redor da Terra duas vezes
e Mary três vezes,
ou Mary duas vezes e o sanduíche uma só vez.
Enquanto eles se encontram no ponto X, não há problema.
Assim, temos toda uma família de soluções.
Podemos ter Mary passando nesse ponto X na vezes,
e nós podemos ter o sanduíche
passando nesse ponto X ns vezes.
Enquanto forem números inteiros, está perfeitamente bem.
Então, em última análise, se tiverem paciência,
eles vão se encontrar no ponto X.
E se você transformar este novo conceito em conta,
que você pode esperar um certo número de passagens através de X,
então a equação que você vê por aqui,
a relação entre a e R,
muda apenas ligeiramente.
Você agora tem que a=R•∛((na-F)/ns)²
E se você substituir um e um,
que é o caso que eles fazem a captura de imediato,
então você vê na verdade você tem R•∛(1-F)²
Então, é exatamente o que você tem lá.
Nem todas as soluções que você tentar vão funcionar.
Uma solução que não vai funcionar
é na=1 e ns=3. Não tem solução.
E eu vou deixá-lo com o pensamento porque é esse o caso.
Não tem solução.
Em 1990, quando dei a matéria 801 pela primeira vez,
Pedi ao meu amigo e colega George Clark
para escrever um programa para que eu pudesse mostrar para a classe.
Esse lance do sanduíche com a Mary e Peter em órbita
e a órbita do sanduíche e tudo
e a captura, e ele fez.
Era um programa maravilhoso,
mas esse programa não funciona mais porque isso é chamado de progresso.
Os computadores mudaram
e assim, minha mão direita, Dave Pooley, se ofereceu para
reescrever o programa para que ele funcione em Athena.
E nós vamos demonstrar para vocês
e vocês mesmos podem brincar com ele.
Ele está disponível na página da internet,
assim o que Dave vai mostrar a vocês, vocês podem fazer sozinhos.
Os parâmetros de entrada que precisamos para este programa
são o raio R, o nosso F e o nosso na e ns.
E o programa fará todo o resto,
assim você pode especificar quantas vezes
você quer que Mary passe por ponto X,
quantas vezes você quer o sanduíche passe por X.
O programa irá calcular para você
a velocidade instantânea do sanduíche.
Ele também lhe dará vs-va,
o que é realmente a velocidade instantânea com que Peter tem que jogá-lo.
Mas, inteligentemente, o programa funciona
com um parâmetro adimensional que é esse valor.
E esse valor, que é (vs/va)-1
é um número que é bastante singular,
porque você tem soluções que se revelam
independentes do G e do M
e eu vou lhe dar um exemplo.
Suponha que você vai encontrar para este...
Para este número adimensional, suponha que você encontra -0,0175,
que é a solução para n=1...
na=1 e para ns=1.
Então você vai ver isso.
O computador irá gerar esse número para nós.
Se agora tomamos a nossa órbita de 7.000 km...
Nós sabemos o que va é, e assim podemos calcular agora
vs-va é va vezes esse número.
Mas nós sabemos que o va é 7,5.
Assim você tem -0,175•7,55 km,
e eis que
esse é o nosso -0,13 km/s.
Claro!
Tem que ser esse número,
porque é isso que nós calculamos
No nosso caso, n=1.
Aí está!
E assim este número adimensional é muito transparente
e vamos mostrar-lhe alguns exemplos.
Esta seria a 300 Mph,
que, naturalmente, não é muito factível.
Dave, porque você não demonstra o programa?
E então você verá o que podemos fazer com esse programa.
Nós podemos substituir lá poucos parâmetros
de que você encontrará, sem dúvida interessante.
Dá-nos uma explicação, Dave,
do que os alunos podem fazer com isso.
Oh, deixe-me mostrar-lhes uma visão geral aqui que iria ajudá-los
a entender o que Dave vai lhes dizer.
Você vê que há o valor de F?
É sempre 5%, nós o quardamos,
e você vai ver aqui os números para...
O número de vezes que Mary passa através do ponto X
e o número de vezes que o sanduíche
vai passar pelo ponto X.
Este é primeiro caso em que trabalhámos juntos.
Aqui, você vê o número -0,017,
e você vê que na verdade é um jogada de sucesso.
Vamos trabalhar isso primeiro.
David, explica como ele funciona.
David: Ok, bem, você pode ver
no meio da tela é o planeta Terra,
e esses dois triângulos representam os astronautas.
O amarelo é Mary, e o vermelho é Peter,
e ele está segurando o sanduiche no meio.
Partem em um raio de 22.000 km
do centro da Terra.
Esse é o padrão, mas você pode mudar isso se quiser.
E colocamos na e ns através destes menus,
então vamos configurá-los tanto para um agora.
E pedimos o programa para calcular o valor para nós
deste parâmetro adimensional,
e ele calcula e nós queremos usar esse valor.
E assim temos tudo definido...
Professor: É este número, certo Dave?
Este -0,0175, etc
David: Sim, e está bem aqui.
Então pedimos ao programa para preparar o lançamento.
Nós clicamos neste botão aqui em baixo,
e quando estiver pronto, o botão verde ficará activo.
E quando isso acontece, podemos clicar aqui,
e ele vai jogar para nós.
Professor: Peter sempre joga em X, às 12:00.
David: Sempre às 12h00.
Professor: Lá vai o sanduíche.
Você vê o sanduíche?
Ótimo sanduíche.
Grande Sanduíche.
Então, observe que o sanduíche faz a volta
exatamente ao mesmo tempo
para que Mary fique feliz.
Agora não há nenhuma razão pela qual não devemos tentar um também.
Então, significa que Mary chega a seu ponto X,
mas o sanduíche foi duas vezes ao redor da Terra.
Não há nenhum problema com essa solução, em princípio,
mas você tem que estar muito longe da Terra.
Se você estiver muito perto da órbita da Terra, como a órbita de Dave,
que tem um raio de apenas 22.000 km,
algo muito catastrófico irá acontecer.
David: Sim, está bem, agora queremos colocar para ns=2,
e fazemos isso com esse menu.
E pedimos para preparar o lance novamente,
com os seus cálculos numéricos
da órbita.
E quando estiver pronto, descobriremos.
E agora podemos ver o lance.
Professor: Então lá vai o sanduíche.
Ele quer dar a volta na Terra duas vezes, mas ele atinge a Terra.
Isso é muito ruim.
Se você fizer este parâmetro adimensional -1,
então vs=0.
E o que significa vs ser zero?
Que o sanduíche fica parado, não tem mais velocidade em órbita.
E então o que acontece com a elipse,
é que o raio diminui.
Dave?
David: Ok, então se queremos usar nosso próprio valor
para este parâmetro adimensional,
então podemos ir para esta caixa aqui
e colocar tudo o que queremos, então vamos colocar -1.
E temos certeza de que o programa
vai utilizar o nosso valor em vez do valor calculado.
Neste caso, esses números não importam, na e ns.
São irrelevantes,
porque o programa vai utilizar o nosso valor.
Pedimos-lhe para preparar...
Professor: O -1 substitui todo o resto agora.
David: Sim.
Ele está passando por seus cálculos,
e agora podemos ver o que acontece.
Professor: 12:00, lá vai o sanduíche.
Agora, Peter decide em um determinado momento que,
ao invés de jogar o sanduíche para trás,
ele pode também jogar o sanduíche para a frente,
porque, olha, temos aqui a elipse vermelha.
Não há nenhuma razão para que Mary não possa passar duas vezes por X...
Uma... Duas vezes.
E então o sanduíche faria uma grande elipse
e encontram-se aqui, depois que Mary deu duas voltas.
Então, naturalmente, o sanduíche tem que ser jogado para a frente.
E assim, Peter faz um cálculo
para o que chamamos de situação 02/01.
Mary vai duas vezes por X,
o sanduíche vai uma vez por X.
Mas Peter cometeu um erro.
Peter ficou nervoso, e ele coloca nos parâmetros errados
e você vai ver o que acontece.
Dave vai primeiro mostrar os parâmetros corretos.
David: Ok, então se pedirmos ao programa
para calculá-lo o caso de 02/01,
teria chegado a um valor
para este parâmetro adimensional
de 0,1659, ou algo perto disso.
Mas, você sabe, Peter fez o seu erro de cálculo,
e ele quer usar 0,164,
então é isso que vamos colocar no programa,
e vamos preparar o lançamento
e ver o que acontece com esse valor.
Ok, agora ele está pronto.
Professor: Pobre Mary deve estar com fome agora.
Lá vamos nós.
Agora vamos para a frente.
Você pode ver isso.
Você vê, ele vai em frente.
Ele faz uma elipse muito grande, e Mary dará duas voltas.
Quando Mary está aqui, veja, o sanduíche está apenas na metade do caminho.
E se Peter tivesse feito certo,
o problema de Mary estaria resolvido agora.
Mas Peter fez este pequeno erro, e...
(Risos dos estudantes)
E Mary não pode pegá-lo.
Se você fizer este parâmetro adimensional 0,42,
então é muito fácil de se convencer
que o sanduíche, deve ser positivo,
terá a velocidade de escape da órbita.
Talvez Peter tenha ficado irritado em um ponto com Mary,
nunca se sabe sobre essas situações,
e ele jogou muito rápido,
Dave vai mostrar o que acontece então.
David: Okay.
Professor: E vai até o infinito,
e não será mais fresco quando ele chegar lá.
Ok, te vejo sexta-feira.