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Professor: Lembre-se, no início do curso
medimos a velocidade média de uma bala
que disparamos de um rifle.
Foi possível porque tínhamos a capacidade de medir tempos muito rápidos
Nos velhos tempos, isso não era possível
e as pessoas mediam a velocidade da bala de um modo muito delicado
e todas as ferramentas que aprendemos podemos aplicar agora
a este dispositivo, que chamamos de pêndulo balístico.
Temos um pêndulo com um objecto muito pesado
pendurado aqui no final - eu chamo-lhe de bloco.
Você vê-lo aqui.
E este pêndulo tem comprimento L.
O nosso é cerca de um metro.
Eu vou dar-lhe o número exato mais tarde.
E nós temos uma bala com uma pequena *** m
e a bala vem com velocidade v.
Ela fica completamente absorvida, presa lá.
É uma colisão completamente inelástica,
e o pêndulo, então, irá adquirir uma velocidade v '
com a bala dentro.
A bala está em algum lugar aqui.
Momento é conservado, então claramente temos que,
mv = (m + M)v '
Então, se você puder medir v '
poderemos medir a velocidade da bala,
que é v.
Como podemos medir v ' ?
Bem, nós podemos esperar até que o pêndulo pare,
vamos dizer aqui, quando a velocidade é zero.
Quando era aqui, tinha uma velocidade v '.
E nós sabemos que existe energia cinética aqui--
não energia potencial gravitacional.
Eu vou chamar este nível U = 0.
mas bem aqui, se a diferença de altura é h,
então toda a energia cinética foi convertida
em energia potencial gravitacional.
Então nós aplicamos o teorema, o teorema do trabalho-energia,
ou você pode dizer...e é igualmente válido, você pode dizer
nós aplicamos a conservação da energia mecânica.
E esta energia cinética,
que é ((m + M)* v '^2)/2
é convertida exclusivamente em energia potencial gravitacional agora,
que igualasse à (m + M)gh.
E nós perdemos nosso (m + M),
então v ' = √2gh.
E tudo o que você precisa medir é h,
e você descobrirá v ',
e se você souber v ', então você sabe a velocidade da bala.
Mas a vida não é tão simples assim.
É muito difícil medir h,
e eu posso fazer vocês verem isso.
Suponha este ângulo - ângulo θ - quando ele para
é apenas dois graus.
Então h, que é L*(1 - cos(θ)),
é apenas 0,6mm
para a dimensão que eu escolhi aqui
para um comprimento de um metro.
E você não pode ver - é invisível -
vamos deixar de lado então que você não pode medi-lo com qualquer grau de precisão.
Então o que faremos agora?
Bem, nós não vamos medir h,
mas iremos medir x.
Eu chamo isto de x = 0.
E aqui, quando o pêndulo para, eu chamo de x.
Para um ângulo de dois graus,
x é aproximadamente 3,5 cm
Pode ser facilmente checado por vocês, é claro.
Então você consegue um maior espaçamento nesta direção em comparação com h.
Se você usar a aproximação para ângulos pequenos -
e é melhor você acreditar que dois graus é bem pequeno -
então você pode provar, o que é puramente matemática geométrica -
e eu deixo vocês com essa demonstração -
que isto é aproximadamente x^2/(2*L).
Eu quero que você prove isso.
Você pega a expansão do cosseno,
a teoria das séries de Taylor,
e você corta ela fora em algum lugar,
e isto não é tão difícil de provar.
Em outras palavras, v '^2,
que é 2gh, pode ser dito como
aproximadamente 2gx^2/(2*L)
que é g*x^2/L.
E a velocidade da bala, v,
que é (m + M)/m--
Eu trouxe m aqui para baixo-- multiplicado por v ',
mas v ' é agora a raiz quadrada disto,
então eu pego x*√g/L.
E o que você vê agora, mas de uma maneira inteligente,
pegando x aqui, nós podemos realizar uma medida mais precisa
da velocidade da bala,
por que nós podemos medir x com mais precisão--
talvez uma incerteza de apenas um ou dois milímetros em x
fora de 3,5 ou 4 centímetros.
Nós vamos medir a velocidade da bala--
nós fizemos isso antes--
para conseguir um número que não é tão diferente.
Eu acho que nós conseguimos algo como 200 à 250 metros por segundo.
Eu vou dar os dados para essa experiencia.
A *** da bala é 2 ± 0,2 g.
Eu peço desculpa por que eu não dei todos os números
em unidade MKS
Vocês irão precisar converter, naturalmente, para unidade MKS
O comprimento do pêndulo
é 1,13 metros ± 2 cm --
não temos certeza--
com uma precisão de cerca de 2 cm.
E a *** do bloco, que é grande,
Eu acredito é 3200g, 3,2kg,
com uma incerteza de cerca de 2g.
Então nós temos 10% de incerteza na ***,
temos 2% de incerteza no comprimento,
e nós temos uma incerteza despresível
na *** do bloco-- essa é pequena
Se eu quero saber agora qual a velocidade
da bala,
Eu posso cacular o que é (m + M)/m
e eu posso calcular √g/L,
e com esses números
eu acho (4,710^3)x.
Nós precisamos medir x.
Agora se você olhar para as incertezas
na coisa toda, nós iremos medir x,
que talvez não seja 3,5cm, mas 4 ou 5--
mas a incerteza na nossa medida
irá ser de um ou dois milímetros.
Vamos dizer que é 0,2cm.
Então esse não é nosso número real ainda.
Então esta incerteza é cerca de dois de 50,
é 4 de 100, é 4%.
Isto é 4%.
Então eu posso dizer que nós conseguimos a velocidade final da bala
com uma precisão de 15%
se nós combinarmos todas as incertezas.
Então vamos dar um tiro, nenhum trocadilho implicado.
e nós...como nós podemos ver
o pêndulo aqui é bem curto
e habilidosamente projetado.
Quando o pêndulo começa balançar,
irá mover um pequeno objeto.
Aí está.
Eu posso ligar isso de novo.
Eu acho que está bom.
Existe um pequeno limpador, que é este limpador preto,
e o pêndulo balaça--
isto é 5cm, isto é 10cm--
o limpador irá ficar na maior extensão
quando o pêndulo balançar de volta.
Ok.
Quando nós disparamos balar, sempre existe um pequeno risco.
Eu tenho aqui...o dardo.
Boto o dardo dentro.
O dardo no meu bolso-- tem um.
Isto mesmo
Eu pego o dardo.
Eu carrego a arma.
Tudo feito certo, né?
Você pode olhar aqui e ver o balanço
deste bloco maciço,
e a bala irá ser absorvida no bloco.
Vocês estão prontos?
3, 2, 1 (tiro), 0.
Eu diria algo em torno de 5,2cm,
então o x observado é cerca de 5,2cm,
e nós sabemos a incerteza de 15%,
então eu preciso calcular agora 4,7*10^3.
4,7 elevado à terceira, multiplicado por...
Eu vou usar MKS, claro, então este 0,52,
e isso é 244 metros por segundo.
Eu lembro da ultima vez que nós tivemos algo similar.
Então a velocidade da bale é cerca de 244 metros por segundo.
É um pouco abaixo da velocidade do som,
que é 340 metros por segundo,
e nós chegamos à mesma conclusão da ultima vez.
Está bem.
Nós temos energia cinética na bala
antes da bala atingir o bloco,
e você pode calcular o seu valor,
por que você sabe a velocidade e a *** agora--
m*v^2/2
Você pode calcular o quanto de energia cinética existe
quando a bala é absorvida aqui.
Isto é muito fácil--
é (m + M)*v '^2/2
que você também sabe.
E você verá que, para a sua surpresa,
que se compararmos os dois,
99,94% de toda a energia cinética disponível
antes da colisão foi destruída,
e portanto convertida em calor.
Isto acontece, claro...o calor foi produzido no bloco.
Agora eu vou mudar para o conceito de impulso.
Não é completamente diferente do que nós fizemos.
Um impulso é dar um chute em algo, isto é o que é um impulso
A nossa bala da um impulso no bloco, deu aquele chute.
Impulso.
Impulso é um vetor,
e é definido como a integral de F*dt
durante uma certa quantidade de tempo--
vamos dizer de 0 até ∆t.
Agora, F = m*a, que é também dp/dt--
nós já vimos isso algumas vezes--
a taxa de variação de momento--
e eu posso substitui-lo aqui,
e eu acho então a integral
de 0 até ∆t de (dp/dt)*dt,
e isto me faz mover para o domínio do momento,
então eu tenho agora simplesmente a integral sobre dp
de um momento inicial, π,
para um momento final, pf.
E isto é simplesmente
o momento final menos o momento inicial.
Então o que o impulso faz é trocar o momento.
Existe uma força que age em algo
por um curto período de tempo--
pode ser um pouco mais longo, como vocês irão ver com os foguetes--
e isto dá a mudança de momento.
Se nós temos um objeto e deixarmos cair no chão,
então nós temos um objeto, *** m, e nós deixamos cair no chão
e nós deixamos ele cair de uma distância h,
ele irá atingir o chão com uma certa velocidade--
nós sabemos que é para baixo, a velocidade,
e é igual a √2gh
se fosse uma colisão completamente elástica,
que depende, naturalmente, da qualidade do objeto,
e depende da qualidade do chão--
talvez uma super bola no mármore
seria quase completamente elástico,
então a bola voltaria com a mesma velocidade
e se fosse mesmo uma colisão completamente elástica,
então você pode ver
que o impulso que a bola está dando--
isto é dado pela bola, quando esta atinge o chão--
o chão está dando um impulso na bola,
e o impulso é igual a 2mv.
A bola muda o seu momento.
era primeiro m*v nesta direção,
e agora é m*v nesta direção,
então a mudança é 2mv.
O impulso é dado na bola.
Agora, se a colisão fosse completamente inelástica,
então a bola apenas...como um tomate,
eu jogo um tomate no chão, ele vai (splat).
Sem velocidade agora quando atinge o solo,
então, naturalmente, o impulso será apenas m*v,
por que ele não volta para cima,
então não temos...a troca de momento é pequena.
Nós temos aqui duas bolas que são parecidas.
Elas possuem uma *** de 0,1kg,
então m = 0,1kg,
e eu vou soltá-las de uma altura de 1,5m,
e isso dá uma certa velocidade quando atingem o chão
de cerca de 5,5m/s
e a mudança de momento é 2mv,
então o impulso é de 2mv, que é 1,1
e isto seria kg*m/s
E isto significa que se o tempo de colisão
é ∆t segundos,
a força média atuante nessa bola
durante a colisão com o chão
é igual ao impulso dividido por ∆t,
por que, lembrem-se, esta é a nossa definição de impulso.
Então se soubermos o impulso,
nós saberemos a força média.
E para a bola que eu vou soltar no chão,
nós fizemos fotografias rápidas.
Eu vou mostrar alguns resultados das fotografias rápidas
com uma bola diferente, mas não obstante, que fizemos
com a bola que eu vou soltar bem rápido--
que é esta aqui--
o tempo de impacto é de apenas 2 milissegundos.
É difícil acreditar que em 2 milissegundos
toda a colisão ocorre.
E se nós substituirmos aqui os 2 milissegundos,
então você consegue uma força média de 550N.
Apenas imagine, a bola tem uma *** de 0,1kg,
o peso é 1N,
e durante o impacto, ela pesa 550 vezes mais.
Foi um incrível aumento de peso!
E a aceleração média
que ocorre durante o impacto é 550*g
Pessoas jogam tênis,
e elas possuem velocidade de centenas de milhas por hora--
velocidade muito maior do que temos aqui, 10 vezes maior--
e então o aumento de peso é muito maior.
Agora, se a colisão fosse completamente inelástica,
e isso fosse um tomate ou um ovo,
e isso não subisse de volta,
a força média permanece aproximadamente a mesma,
a razão do impulso seria a metade.
Mas o tempo de impacto seria a metade também
e o impulso é metade, então, claro, a força...
a força média será a mesma--
bem alta, para um curto espaço de tempo.
Então eu quero mostrar...
oh, eu primeiro quero mostrar agora....essas duas bolas.
Uma colide quase completamente elástico com o chão.
Se uma colisão completamente elástica
não depende apenas da bola- que é uma super bola--
mas também da condição do chão;
Este não é um chão muito bom, não é mármore.
Então eu solto esta aqui,
ela não sobe até esse ponto aqui.
Então não é uma colisão completamente elástica,
mas ela quica muito bem.
Então está entre completamente inelástico
e completamente elástico.
Nada mal, né?
Não é ruim.
Agora essa aqui.
Olhem.
(splat)
Parece a mesma coisa, mas não é.
Esta é completamente inelástica.
Vai para o chão e fica.
Você vê um pequeno pulo, mas é só.
E então o tempo de impacto é bem pequeno--
2 milissegundos no caso dessa que pula de volta,
1 milissegundo no caso dessa que fica no chão,
e os seus pesos médios
são aproximadamente 550 vezes o seus pesos normais.
Eu gostaria de mostrar algumas rápidas fotografias
mas não dessa mesma bola,
mas de uma outra.
Deixe-me pegar isso...essa fora.
E essa é a bola que cai
com uma velocidade de 4m/s.
e cada quadro é de 1 milissegundo,
então se você olhar uma régua,
e suas indicações...tem marcar em centímetros,
e você verá ela ir...
em 4 milissegundos vai andar 1 centímetro,
então possui uma velocidade de 2,5m/s.
Irá atingir o chão,
e então poderemos contar o número de milissegundos
que ocorre o contato e volta para cima.
Não será dois milissegundos,
é um pouco mais, mas, de novo, impressionantemente rápido.
Muito bem, nós iremos torná-lo um pouco escura
para conseguir uma qualidade descente.
Eu vou tirar 5 delas fora
e vou colar a TV no dois,
e agora eu vou começar isso.
Lá vamos nós.
Vamos esperar que isso funcione.
Ok, lá vem a bola descendo.
Essas marcas estão em centímetros.
Então temos uma régua em centímetros.
Isso é um centímetro.
Eu vou voltar um pouco, porque estávamos um pouco atrasados.
Ok, vamos começar de novo.
Então observe quando passar por essa marca --um, dois, três--
você vê 4 milissegundos por cerca de um centímetro.
Então isto é 2,5 m/s
E agora iremos contar o número de milissegundos no impacto.
Um, dois, três, quatro, cinco, seis e está fora.
Cerca de seis, talvez sete milissegundos.
E esta não é uma bola especial.
Esse tempo de impacto é extremamente curto.
Agora eu tenho algo especial para vocês--
algo realmente especial,
algo que tem me mantido acordado--
um monte de coisa me mantem acordado em física,
e não apenas física...
(risadas dispersas)
mas isto...mas isto é muito especial.
Isto é muito especial.
Eu tenho aqui uma bola de basquete.
(bola quicando)
Não completamente elástica, mas nada má.
Uma bola de tênis-- não completamente elástica, mas nada má.
Agora eu vou soltá-las ao mesmo temo, na vertical,
e então essa bola saltará de alguma forma.
E a pergunta que eu tenho para vocês é,
se eu soltá-la dessa altura
esta bola de tênis irá chegar
no máximo, nessa altura,
ou você pensa que será mais baixo,
ou você pensa que será mais alto?
Então use a sua intuição.
No pior caso, pode estar...pode estar errado--
ele já está levantando o dedo--
então o que você acha?
A bola de tênis chegará na mesma altura?
Quem é a favor disso?
Quem é a favor de que será mais alto?
Wow.
Quem é a favor de muito mais alto?
Ok.
Ok, eu vou testar.
Agora, eu não posso garantir para vocês que a bola irá apenas subir
após o impacto, por que, claramente, é impossível.
Não tem chances,
então provavelmente irá subir em alguma direção.
Mas vocês irão ver o efeito que eu tenho em mente.
Então aqui vamos nós.
(bola quica)
E você vê que, realmente, a bola de tênis..
vai mais alto.
Eu tentarei mais uma vez para ver
se eu posso fazê-lo subir um pouco mais na vertical
mas é bem difícil.
Vai mais alto,
e isto é algo que você deve conseguir calcular,
e você pode, e você irá.
Acredite em mim, é parte da tarefa seis.
Vocês não viram ainda.
Aqui vamos nós.
(a bola quica)
Oh, essa foi melhor.
Bem...oh!
Alguém de vocês sabe,
aproximadamente, qual a altura que sobe,
se a bola tiver mais *** que essa?
Claro, a proporção de *** entra em jogo.
Alguma ideia?
Duas vezes maior?
Vocês ficaram surpresos quando vocês fizerem a tarefa seis.
Muito mais alto.
Ok, na verdade, vocês conseguem ver bem aqui
que é um pouco mais alto que o dobro.
Ótimo...uma boa experiência,
e é algo que você pode fazer em casa.
Agora eu quero discutir, no tempo restante, sobre foguetes.
Uma experiência de foguete com impulso de motor,
e isto muda o momento do foguete.
Mas antes que entremos em detalhes do foguete,
pense, novamente, na ideia de jogar objetos no chão.
E vamos mudar para tomates.
Eu quero tomates, por que eu quero uma colisão completamente inelástica,
então tomates atingem o chão, e não é que eu...
Eu não vou jogar apenas um tomate no chão,
mas eu estou muito bravo hoje,
Eu vou jogar vários desses tomates no chão--
n, como em Nancy, tomates no chão.
Se um tomate atinge o chão,
a mudança de momento é m*v, se m é a *** to tomate.
Mas eu irei jogar n no chão,
então a mudança de momento é n, de Nancy,
vezes a *** do tomate, vezes v.
E esse é o número de kg/s
de tomates que eu joguei no chão.
Então esta é a mudança de momento.
E isso é igual a ∆p/∆t,
e isso é uma força média.
Então o chão irá sofrer uma força na direção de baixo.
é claro que apenas para o caso aqui
quando a bola sofre uma força para cima,
que nós calculamos aqui.
O chão sofre, obviamente,
a mesma força na direção de baixo--
ação é igual à menos reação-- Terceira Lei de Newton.
Então o chão sofre uma força
na direção de baixo.
E eu posso escrever aqui, de um modo mais civilizado:
F = (dm/dt)*velocidade,
se a velocidade do tomate que atinge o chão é constante.
E nós iremos aplicar isso nos foguetes,
no qual os gases de escape saem dos foguetes
tem, em relação ao foguete, velocidade constante.
E esse é o número de kg/s
que eu jogo no chão.
Isso é muito real.
Eu posso jogar esses tomates em uma escala de banheiro,
e se eu jogar 4 kg/s em uma escala de banheiro,
e eles atingem a escala de banheiro em 5 m/s,
é melhor você acreditar que você vai ver que a escala de banheiro
irá atingir uma força média
de cerca de 20N-- 4*5.
Se não fossem tomates,
mas sim super bolas que pulam para cima,
então a mudança de momento seria o dobro,
e a escala de banheiro indicaria 40N.
Então isso é algo real, é uma força real que você pode medir.
Agora eu vou ser um pouco desagradável para vocês.
Eu vou jogar tomates podres em vocês.
Bem, aqui eu tenho um tomate,
e esse tomate tem velocidade inicial zero.
Deixe-me fazer você um pouco maior,
se não...eu nem acertaria você.
Então isso é você.
E agora eu dou à esse tomate uma certa velocidade, v(x).
O tomate atinge você, (splat).
Talvez ele permanece lá, é possível.
Talvez (squish), ele vai escorrer.
Mas de qualquer forma, a velocidade na direção x se foi.
Então ele te atinge com uma velocidade v*x e então v(x)=0.
E isso pode fazer uma bagunça.
Você irá sentir uma força.
Se eu continuar jogando esses tomates em você toda hora...
e esta é a força que você irá sentir--
e essa força é, naturalmente, nessa direção.
Você recebe todos esses tomates, e você sente isso como uma força.
Mas agora olhe para a simetria desse problema.
Aqui a velocidade vai de v*x para 0.
mas eu, jogando os tomates,
aumento a velocidade de 0 para v*x.
Então por razões óbvias,
Eu devo sentir uma força nessa direção--
pense nisso como um recuo quando você disparar uma bala.
Então eu sinto exatamente a mesma força, mas nessa direção,
e esta é a ideia por trás do foguete.
O foguete está jogando tomates--
bem, não exatamente tomates--
Está liberando gás quente nessa direção,
e então o foguete irá sentir uma força
nessa direção.
Esse é o conceito básico do foguete.
E quanto mais a velocidade do gás liberado--
maior a velocidade--
mais kg/s é liberado,
maior dm/dt, maior será a força no foguete,
e esta força sobre o foguete é chamado de impulso do foguete.
Então se nós tivermos um foguete no espaço--
aqui está o foguete--
e o foguete está liberando gás com velocidade, u,
que é constante em relação ao foguete--
é uma queima de produtos químicos.
Produtos químicos são queimados, eles saem com uma certa velocidade,
e o foguete irá, então, sofrer uma força,
que chamamos de empuxo,
e é dado por essa equação.
Se você souber quantos kg/s são liberados,
e você sabe qual é a velocidade, que eu chamei de u aqui,
isso irá te dizer qual é o empuxo do foguete.
Se nós pegarmos o caso dos foguetes Saturn
que nós usamos para pousar na Lua...
Saturno.
Para os foguetes Saturn
a velocidade u é cerca de 2,5 km/s.
Então o gás é liberado com 2,5 km/s
em relação ao foguete,
e a taxa que o gás é liberado é fenomenal--
15 toneladas de material por segundo.
dm/dt é cerca de 15000 kg/s--
é quase inimaginável.
E isso lhe fornece empuxo
de cerca de 35 milhões de Newton,
que, claro, é maior que o peso do foguete,
se não, o foguete jamais subiria.
Um incrível empuxo.
Eu tenho um ótimo problema para vocês na tarefa seis
com os foguetes Saturn.
Você vai ver esses números novamente.
Estes são arredondados.
Então foguetes obtêm impulso de seus motores,
uma força atua no foguete por uma certa quantidade de tempo--
nós chamamos de tempo de queima--
mas enquanto ele queima o combustível, a *** do foguete vai diminuindo,
por que o combustível sai.
E, portanto, a aceleração durante a queima sobe,
por que a *** diminui.
E isso o torna um pouco complicado
para obter a mudança de velocidade
que você adquire durante a queima, durante o impulso.
Está feito no seu livro-- Ohanian.
Eu achei a derivação um pouco complicada.
Eu olhei em outros livros,
e eu encontrei uma no livro de Tipler de física,
e sua derivação--
e eu vou passar por isso em termos gerais ...
Eu coloquei isso na Web para vocês.
Deve estar lá hoje a noite,
assim você pode querer tomar poucas notas.
A derivação inteira,
que eu vou mostrar apenas as partes importantes,
está na Web.
E o modo como Tipler está fazendo
é exclusivamente do seu quadro de referência.
Você está situado em 26100,
e você está vendo este foguete subindo.
Vamos manter essa equação, que é o impulso do foguete,
exceto que, no caso de um foguete que chamaríamos isso de u,
que é a velocidade de exaustão do foguete,
e isso é o que nós chamamos de empuxo.
Então vamos agora pegar um foguete, no tempo t
como pode ser visto a partir do seu quadro de referência -
onde você está situado.
Eu uso v - é o seu quadro de referência.
Ele sobe com uma velocidade v.
A *** do foguete é m.
E agora iremos olhar para o instante t + ∆t
O foguete aumentou a sua velocidade, v + ∆v.
A *** é m-- vou fazer em...não em colorido.
A *** agora é m - ∆m,
e aqui está um pouco de escape
que foi liberado com velocidade u
em relação ao foguete-- u relativo ao foguete.
Então vocês na 26100 vão ver a velocidade
desse pequeno pedaço ∆m--
você vai ver que isso é v - u.
Se a velocidade do foguete é maior que u-- pode ser--
você vai ver o escape passando de seu quadro de referência.
Se a velocidade dos gases de escape
é maior que a velocidade do foguete,
vocês irão ver ele ir para baixo, no seu quadro de referências.
Tomem cuidado com os sinais.
Agora eu vou comparar o momento aqui
com o momento ali,
e nós temos a situação
que não existem forças externas que agem sobre ele -
em algum lugar no espaço, o foguete pega fogo.
Momento precisa ser conservado.
O momento do instante t é m*v.
É muito simples.
Este é o tempo t.
O momento no instante t + ∆t do sistema inteiro
incluindo os gases de exaustão--
se eu estou dizendo que o momento é conservado,
você não pode ignorar os gases de exaustão.
Se o momento do sistema é conservado.
O momento do foguete irá mudar
e o momento dos gases irá mudar,
mas não o do sistema.
Então nós iremos pegar m*v--
(m - ∆m)*(v + ∆v) + ∆m,
que possui velocidade v - u.
E quão grande é isso?
Bem, temos m*v + m*∆v
Aqui você vê m∆v, aqui você vê mv,
e então você obtém - u*∆m,
e ∆mv aqui cancela -∆mv aqui,
e esse termo, ∆m*∆v,
é o produto de dois números muito pequenos-- eu vou ignorar.
Então esse é o momento em t + ∆t
e esse é o momento em t,
e então a mudança de momento, ∆p--
que deve ser zero por que o momento é conservado--
é m*∆v - u*∆m.
m*∆v - u*∆m.
Eu posso pegar a derivada dessa equação,
então eu tenho no lado esquerdo dp/dt.
dp/dt vai para 0,
então eu tenho 0 = m*dv/dt,
mas dv/dt é a aceleração do foguete menos u*dm/dt.
E esse é o empuxo no foguete.
Então o que você vê aqui
é algo fácil de digerir--
esse m*a, que é...que é a aceleração do foguete,
isso é a *** do foguete no momento t--
igual ao empuxo do foguete, que é igual a u*dm/dt.
E muitos chamam isso de...a "equação do foguete".
Agora, isso é verdade se não tivermos forças externas no sistema.
É interessante incluir um lançamento real na Terra,
e se você tiver um lançamento real na Terra,
então o foguete subirá nessa direção,
mas a gravidade é exatamente na direção oposta.
Em outras palavras, apenas quando você lança verticalmente da Terra
você terá um empuxo como este,
e você terá m*g como este.
Nesse caso, a equação precisa ser ajustada,
e você obtém ma = mempuxo - m*g.
Somente se você tiver um lançamento vertical na Terra.
Agora você tem que fazer um pouco de massagem,
e vou deixar você com essa massagem.
Um par de integrais são necessários para converter isso
para a velocidade final do foguete, após a queima
comparado com a velocidade inicial.
E essa parte eu vou deixar com você,
mas você vai ver que deu certo em todos os detalhes
nas notas que eu deixei na Web.
E então você vem com uma equação muito famosa
que a velocidade final do foguete
menos a velocidade inicial do foguete
é igual a -u vezes o logaritmo
da *** final do foguete
dividido pela *** inicial do foguete.
Isso se não tivermos gravidade.
Apenas no caso, e apenas no caso de um lançamento vertical da Terra,
há também aqui um termo, menos g*t--
somente se você tiver um lançamento vertical na Terra.
Quando eu assisti a palestra, percebi que no meu entusiasmo
Eu coloquei entre parênteses -g*t
Isto é bastante enganador,
pois pode lhe fornecer a impressão errada
que há um produto em jogo aqui, que não é assim.
Então os parênteses não devem estar sobre o -g*t
É este termo,
- uln(mf/(mi - gt)).
Vamos olhar agora para essa equação com um pouco mais de detalhe,
de modo que temos um pouco de sentimento por ela.
Suponha que temos um lançamento vertical da Terra,
mas nós não temos um foguete.
É possível.
Então este termo não existe.
O que você vê?
Que a velocidade é igual a v inicial--
temos chamado assim antes--
é a velocidade inicial-- menos g*t.
Ha!
Nós temos o resultado durante nossa primeira leitura--
completamente consistente com essa equação.
Se você não tem foguete, você obtém v = v(inicial) - g*t,
se você lança um objeto verticalmente para cima
e nós tivemos um lançamento vertical.
Então isso parece bom.
Nós lançamos da Terra,
e nós agora temos uma velocidade inicial que é zero.
O foguete está lá, e nós dispararamos o foguete.
t, por sinal, é o tempo de queima do foguete.
Vou escrever aqui embaixo.
t é o tempo de queima.
Então a velocidade inicial é zero.
Então agora, a velocidade final...se nós queremos a velocidade final
seja nada fisicamente significativa - um número positivo -
essa coisa precisa ser positiva.
E você diz, "Mas como pode ser isso?"
Por que nós temos um sinal negativo aqui
e nós temos um sinal negativo ali
Como que isso pode se tornar positivo?
Bem, não esqueça que a *** final
é sempre menor que a *** inicial,
por que você queima combustível,
e então esse logaritmo é sempre negativo,
e então este termo sempre será positivo,
se você queima qualquer combustível.
Agora, é claro que para essa velocidade
ser um valor real-- fisicamente significante--
esse termo precisa matar este, precisa ser maior que este aqui,
se não, o foguete nem sobe.
Você poderia estar expelindo combustível o tempo todo,
e o foguete estaria apenas parado la,
porque o impulso de forma eficaz
não é suficiente para levanta-lo.
Então o primeiro termo precisa vencer o segundo termo
no caso de lançamento vertical.
Vamos pegar um exemplo com alguns números--
sempre dá um pouco de discernimento.
Nós temos um tempo de queima de cerca de 100 segundos,
e velocidade inicial 0,
e um caso onde u é 1000 m/s.
Isso é menos que o foguete Saturn,
mas é ainda um considerável ... é um quilômetro por segundo.
Assim, os gases de escape estão saindo em relação ao foguete
com 1 km/s.
E a *** final dividida pela *** inicial do foguete
é 0,1 então 90% foi queimado e liberado.
Você possui apenas 10% sobrando quando a queima acaba.
Então agora podemos calcular--
se este foi um lançamento a partir da Terra, um lançamento vertical para cima--
nós podemos calcular o quão grande esse termo é,
pegue o logaritmo desse valor,
multiplique por -u,
e então nós achamos a velocidade final...
O primeiro termo é 2300,
e o segundo termo, 100 segundos,
e isso é 10, é -1000.
Então você paga um preço pelo campo gravitacional.
E você obtém cerca de 1,3 km/s
é a velocidade final do foguete.
Isso é m/s,
e isso é km/s
Agora, se não tivesse gravidade,
então, claro, o ganho de velocidade-- essa diferença--
seria de 2300 m/s.
Alias, se não tivesse lançamento vertical
mas se, por exemplo, o foguete estivesse em órbita em torno da Terra -
aqui nós temos o foguete
e está em orbita ao redor da Terra--
então, é claro, embora haja gravidade,
a gravidade não está fazendo nenhum trabalho.
E, portanto, se você acionar este foguete por 100 segundos,
a mudança na velocidade, a mudança tangencial,
será 2300 m/s.
Você não pode dizer agora que tem gravidade
e, portanto, temos que levar o termo g*t em conta.
Será o mesmo para essa equação.
Se você possui um objeto indo nessa direção,
este termo -g*t não seria lá.
É só, claro, quando você lidar com um movimento vertical.
É muito importante perceber, e muito não-intuitivo,
que quando você queima uma certa quantidade de combustível
por uma certa quantidade de tempo
você obtém uma fixa mudança de velocidade.
Isto é fixado para uma dada quantidade de combustível.
A mudança na energia cinética não está fixada,
e eu lhe darei alguns números
para que você possa checar imediatamente por você mesmo.
E é muito não-intuitivo.
Trata-se, na verdade, de um erro que é feito por muitos físicos
que pensam que se você queimar a mesma quantidade de combustível
do mesmo foguete para a mesma quantidade de tempo
que o aumento da energia cinética é um dado.
Isso não é verdade.
É a mudança na velocidade que é um dado.
Mas suponha que v(final) - v(inicial)
é 100 m/s.
Isso é apenas um dado.
Eu tenho um foguete, eu tenho uma certa quantidade de combustível,
eu queimo, e isso é a minha mudança na velocidade.
Eu comecei com um v(inicial) = 0,
então o meu aumento na velocidade cinética é (m*100^2)/2
que é 10^4.
Isso é o que eu consegui dessa queimadura.
Agora eu uso o mesmo foguete,
a mesma quantidade de combustível, o mesmo tempo de queima,
então eu consigo novamente que a velocidade final
menos a inicial é 100.
É exatamente o mesmo.
Mas antes da queima, o foguete possui uma velocidade inicial
de 1000 m/s.
Qual é agora o ganho de energia cinética?
A velocidade final é agora 1100.
Isso é inegociável, porque o foguete muda o momento
muda a velocidade para uma fixa quantidade.
Então agora o ganho de energia cinética,
o aumento de energia cinética
é (m*(1.100)^2)/2 - (m*(1.000)^2)/2
Essa é a nova velocidade e essa é a antiga.
E esse número é (m*200.000)/2.
Isto pode ser em joules, e este é também em joules.
Esse número é 20 vezes maior.
Então você vê que a mudança de velocidade era exatamente o mesmo.
O foguete queimou a mesma quantia de tempo,
a mesma quantidade de combustível,
mas o aumento da energia cinética é maior
se o foguete tiver uma velocidade maior inicial.
Nós aqui em 26,100 fizemos o nosso próprio foguete.
É um modelo muito terra-a-terra, sem trocadilho implícito.
Mas é muito poderoso, e eu gostaria de mostrar a você,
porque estamos muito orgulhosos dele.
Como um foguete, usamos um extintor de incêndio - dióxido de carbono -
e esta invenção fantástica que tenho aqui.
E este foguete poderoso
é suficiente para atingir a velocidade de escape, de ...
(sussurros altos)
...de 26,100.
(estudantes rindo)
Eu quase atingi a velocidade de escape, mas eu quebrei.
Veja vocês na próxima sexta-feira.
(risos e aplausos dispersos)
(mais sussurros)