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X
Uma mesa de sinuca mede 1 metro por 2 metros.
Vou registrar. Esta distância aqui é de 1 metro.
Esta distância aqui é de 2 metros.
Temos 2 metros aqui.
São seis caçapas no total: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
4 nos cantos e 2 no ponto central de cada um dos lados de 2 metros.
A bola branca é colocada a 0,25m, ou um quarto de metro,
da borda norte e a um quarto de metro
da borda oeste. Então é isto aqui,
esta distância aqui.
Um quarto de metro da borda norte.
Isto é 1/4 de metro.
E esta distância aqui também é 1/4 de metro.
Esta distância e esta distância.
Da borda oeste.
Os ângulos formados conforme a bola se aproxima
e se afasta formam uma imagem espelhada um do outro.
Aqui ela se aproxima, aqui ela se afasta.
É uma imagem espelhada.
Se imaginarmos um espelho
bem aqui, vemos que
são imagens espelhadas uma da outra.
A que distância x - Eles pedem o x -
do canto sudeste
a bola deve bater na borda leste -
Esta é a distância do canto sudeste -
para que ela caia na caçapa do meio da borda sul?
Pause o vídeo e calcule. Vou dar uma dica.
Pode envolver triângulos semelhantes.
Vamos tentar calcular.
A grande pista é que a aproximação e o afastamento
serão imagens espelhadas uma da outra.
Se são espelhadas,
este ângulo e este são congruentes.
Se os dois são congruentes,
este ângulo, que é complementar
ao ângulo preto, deve ser igual a este ângulo.
Cada um deles terá 90 graus menos o ângulo preto, aqui.
Estes dois ângulos são congruentes,
e agora podemos construir dois triângulos retângulos.
Podemos imaginar um aqui, o maior.
Imagine que este seja nosso triângulo de aproximação.
O topo dele é paralelo à borda da mesa de sinuca.
E este é o nosso triângulo de afastamento.
E mostrei que estes dois ângulos verdes são congruentes
para mostrar que estes dois triângulos
são semelhantes. Como sabemos disso?
Se ambos os triângulos têm um ângulo de 90 graus
e este ângulo verde,
o terceiro ângulo também vai ser igual.
Se conhecemos dois ângulos, sabemos qual será o 3º ângulo.
Se dois ângulos correspondentes de dois triângulos diferentes
são congruentes, os triângulos serão semelhantes.
Então o triângulo de cima é semelhante ao de baixo.
Isso significa que
a razão dos comprimentos das partes correspondentes
dos triângulos vai ser a mesma.
Já dissemos que esta distância...
Vejamos o que já sabemos sobre estes triângulos.
Esta distância é x.
Qual é esta distância aqui?
Qual vai ser esta distância aqui?
Vamos pensar.
Sabemos que esta distância é 1/3 de metro.
Sabemos que esta distância toda é de 1 metro.
Então esta distância... Vou fazer numa cor visível.
Esta distância aqui vai ser 3/4 de metro.
Então, se esta distância é 3/4 de metro,
então esta parte aqui vai ser 3/4 menos x metros.
Vou anotar. 3/4 menos x é este comprimento roxo.
O que mais sabemos?
Sabemos o comprimento deste segmento aqui.
Sabemos que as caçapas ficam a 1m uma da outra,
então isto é 1 metro.
E também sabemos o comprimento deste segmento aqui.
Sabemos que isto é 1 metro e isto são mais 3/4 de metro.
Esta distância toda aqui é de 1 e 3/4 metros.
Ou podemos escrever como 7/4 metros.
Vou escrever assim: 7/4.
Quero representar como fração imprópria
porque acho que vou ter de calcular razões em breve.
Estes dois triângulos são semelhantes,
então as partes correspondentes terão a mesma proporção.
Por exemplo, este segmento verde aqui
é o lado mais longo que não é
a hipotenusa do triângulo retângulo de cima.
Ele vai corresponder ao lado mais longo
que não é a hipotenusa deste triângulo.
Os lado opostos a este ângulo verde
correspondem um ao outro.
Então podemos dizer que a proporção de 7/4 para 1,
a proporção de 7/4 metros para 1 metro,
vai ser igual à proporção dos lados opostos aos ângulos roxos.
Vai ser igual a 3/4 menos x para x.
Estou mostrando que a razão das partes correspondentes é igual.
Então vamos encontrar o valor de x.
Se multiplicarmos os dois lados disto por x,
do lado esquerdo vamos ficar com 7/4x.
E do lado direito ficamos com 3/4 menos x.
Agora podemos somar um x aos dois lados.
E 7/4x mais 4/4x
vai dar 11/4x é igual a 3/4.
Agora basta multiplicarmos os dois lados
pelo inverso de seu coeficiente, portanto por 4/11.
E vamos chegar a x é igual a 3/11 de um metro.
Então se a bola bater a 3/11 de metro acima do canto sudeste
desta borda, vamos acertar esta caçapa aqui.