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Eu me chamo Ludwig Schläfli ,
sou um geômetra suíço.
Vivi no século dezenove
e vou lhes abrir as portas da quarta dimensão !
Não tenhamos medo das palavras, sou um visionário.
Fui um dos primeiros a ter consciência
de que os espaços com um grande número
de dimensões existem muito bem
e que se pode estudá-los em geometria.
Os seres planos que vivem num plano
podem comprender bem a existência de poliedros de dimensão 3.
Por que, então, não podemos compreender os poliedros de dimensão 4 ?
Uma das minhas maiores contribuições
foi descrever todos os poliedros regulares de dimensão 4.
O que é a quarta dimensão ?
Muito se tem escrito sobre isso,
e os autores de ficção científica se entregam a isso de coração aberto !
Vou lhes explicar as coisas no quadro.
Verão que este quadro é um pouco mágico.
O importante é se preparar para fazer abstrações do mundo
ao qual nos habituamos
e imaginar um mundo
que nossos olhos e sentidos não acessam diretamente.
Iremos nos tornar astutos, como os répteis.
Vou subir num mirante.
que, infelizmente, vocês não verão,
e tentarei descrever o que vejo.
Antes disso, porém, traço uma reta no quadro.
Aí, coloco uma origem.
Cada ponto desta reta
pode ser localizado pela sua distância à origem,
seguida de um sinal negativo se ele se encontra à esquerda
e de um sinal positivo se o ponto se encontra à direita.
Usualmente chamamos este número de x
e o chamamos de abscissa.
Como a posição deste ponto sobre uma reta
pode ser indicada por um só número,
diz-se que a reta tem dimensão 1.
Agora, traço um segundo eixo,
perpendicular ao primeiro.
Cada ponto do plano do quadro
é agora, identificado perfeitamente por dois números,
que se chamam tradicionalmente x e y : a abscissa e a ordenada.
O plano tem dimensão 2.
Se for necessário explicar a um ser que mora numa reta
o que é um ponto do plano, que ele não conhece,
pode-se lhe dizer simplesmente
“um ponto do plano é apenas a informação de dois números”.
Passemos à terceira dimensão.
O giz risca o espaço
e traça um terceiro eixo, perpendicular aos outros dois.
Um ponto no espaço é descrito por três números,
x, y e z.
Poderíamos dizer aos répteis,
curiosos em saber que mundo é este :
“um ponto no espaço, é simplesmente três números”.
Passemos para a quarta dimensão.
Poderíamos tentar traçar um quarto eixo
perpendicular aos outros, mas isto é impossível !
Então, temos que proceder de outra forma.
Isto é, pode-se simplesmente dizer
que um ponto no espaço de dimensão 4,
é apenas a informação de quatro números x, y, z, t.
Isto não é bastante claro !
Assim, tentemos, apesar de tudo, elaborar
uma intuição desta geometria.
Um primeiro caminho para compreender isto
é proceder por analogia.
Eis aqui um segmento...
... depois um triângulo eqüilátero...
e por fim um tetraedro regular.
Nosso quadro mágico nos permite desenhá-lo no espaço.
Como continuar a série em dimensão 4 ?
Pode-se observar que o segmento, o triângulo, o tetraedro,
têm 2, 3 e 4 vértices respectivamente.
Pode-se então tentar continuar com 5 vértices !
Tentemos.
No segmento, no triângulo ou no tetraedro,
conseguimos unir todos os vértices dois a dois.
Nós devemos unir os 5 vértices entre eles.
Conta-se
uma aresta
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 arestas.
No tetraedro
existe uma face triangular para cada triplo de vértices.
Procede-se da mesma maneira,
o que nos dá uma face triangular
2, 3, ... , 10 faces.
Mas se se continua por analogia,
é preciso também unir uma face tetraédrica
para cada quádruplo de vértices,
Contam-se 5.
E veja que nosso objeto quadri-dimensional está construído.
Vamos chamá-lo “simplexo” !
e vamos fazê-lo girar no espaço
como fizemos com o tetraedro.
Certamente, é preciso imaginar que o simplexo gira
num espaço de dimensão 4
e que isto que se vê é a projeção sobre o quadro.
O que complica um pouco as coisas,
é que as faces se misturam e se cruzam.
E é certo, que é necessário um pouco de experiência para enxergar a dimensão 4.
Nós podemos tomar o simplexo,
que está na quarta dimensão,
e deslocá-lo para que ele intersecte
progressivamente “nosso” espaço de dimensão 3.
Da mesma forma que os répteis
viam um polígono que aparece e depois desaparece,
vemos um poliedro de dimensão 3
que aparece, se deforma e desaparece.
Vejam ! O simplexo atravessou nosso espaço de dimensão 3.
Vamos tomar conhecimento
de outros poliedros de dimensão 4
que atravessam nosso espaço de dimensão 3.
Vejam o hyper-cubo, que generaliza a família
que começa por um segmento, o quadrado e o cubo.
É necessário reconhecer que, formar uma intuição pelo método de cortes
que acabamos de utilizar é bem difícil...
Descobri os análogos do icosaedro e do dodecaedro.
Eles têm nomes complicados
mas eu os chamarei apenas o 120 e o 600
porque o primeiro tem 120 faces e o segundo, 600.
Olhem o 120 , sempre que ele atravessa nosso espaço.
E vejam o 600.
É bem verdade, que quando falo de um poliedro de dimensão 4 a 600 faces,
eu falo de suas faces tri-dimensionais.
Bem, estas 600 faces são portanto tetraedros.
O 120 é constituído de 120 dodecaedros !
Mais tarde, iremos conhecê-los melhor.
Para observar estes objetos quadri-dimensionais
com nossos olhos tri-dimensionais,
podemos usar as suas sombras.
Os objetos estão no espaço de dimensão 4
e façamos uma projeção sobre nosso espaço de dimensão 3
da mesma forma como um artista projeta uma paisagem sobre sua tela.
O mesmo que já fizemos com o simplexo.
Vejam então um hipercubo.
Certamente, ele gira no espaço
para que possamos apreciar os detalhes.
Vejam, por exemplo, que o hipercubo tem 16 vértices.
Uma novidade.
Minha descoberta mais bonita.
Um objeto que chamarei o 24
que não tem nenhum semelhante em dimensão 3.
Uma criatura puramente quadridimensional.
Tenho bastante orgulho por tê-la descoberto.
Admirem ! 24 vértices, 96 arestas, 96 triângulos e 24 octaedros.
Uma maravilha !
Vejam a sombra do 120,
em toda sua majestade !
Majestade complexa, é importante dizer !
Penetremos no interior e examinemos a estrutura.
Admirem : 600 vértices, 1200 arestas.
De cada vértice partem 4 arestas.
Uma estrutura completamente regular.
Todos os vértices, todas as arestas têm o mesmo papel.
E ainda, a projeção quebra, de algum modo, a regularidade do objeto.
Façam um esforço de imaginação.
Imaginem o objeto no espaço de dimensão 4
no qual um enorme grupo de rotações
troca todos estes vértices e estas arestas.
Vejam o campeão, o 600.
Como uma gigantesca macromolécula
com seus 720 vértices e 120 arestas.
12 arestas partem de cada vértice.
A nossa aventura com os poliedros de dimensão 4,
entretanto, não termina aí
porque existe uma grande aposta que suas projeções estereográficas
nos dêem uma intuição melhor ainda.