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X
No último vídeo nós dissemos que se você tem uma linha que foi
definida como todos os múltiplos escalares de algum vetor... e eu
irei escrever isso assim...
Os múltiplos escalares, é claro,
são qualquer número real.
Nós definimos uma transformação e nós não falamos muito disso
em termos de transformações, mas isso era uma transformação.
Nós definimos a projeção nesta linha L como sendo
uma transformação.
No vídeo, nós esboçamos isso como transformações no R2, mas
isso poderia ser, generalizando, uma transformação do Rn ao Rn.
E nós definimos isso a projeção de x em L como sendo
igual ao produto escalar de x com este vetor de definição.
x ponto este vetor de definição, dividido por este vetor de
definição ponto ele mesmo.
Tudo isso vezes o vetor de definição da linha!
Esta era a nossa definição.
Um bocado de coisas devem ter surgido em sua mente agora quando
nós dissemos isso.
Quando você escala um vetor com ele mesmo, o que isso dá?
Nós sabemos que se eu pegar algum vetor, e eu o escalar com
ele mesmo, isso será equivalente ao comprimento
do vetor ao quadrado.
Nós podemos reescrever esta coisa como sendo igual a x ponto v, sobre o
comprimento de v ao quadrado, tudo isso vezes v...
Não ficará muito bom se o comprimento de v era 1...
O comprimento de v foi igual a 1.
Se o comprimento de v foi 1, ou esta é outra maneira de dizer
que, v é um vetor unitário.
Nossa fórmula da nossa projeção apenas irá
simplificar para x escalar v.
Tudo isso vezes, isso irá ser apenas algum número escalar...
isso vezes v.
Você diz: "Ei Sal, como nós sabemos se este
é ou não um vetor unitário?"
O que você pode perceber é que qualquer... deixe-me desenhar isso desta maneira...
Quando eu esbocei isso no vídeo anterior, eu apenas
peguei uma linha, como esta...
A linha pode de fato ser definida para este vetor v inserido na linha.
Ela pode ser qualquer dos vetores contidos na linha...
O vetor v pode ser assim...
Digamos que alguém lhe dá o vetor v que
não é um vetor unitário.
E digamos que o comprimento de v não seja igual a 1.
Como você poderia definir esta linha usando o vetor unitário?
Você simplesmente normaliza v!
Você pode definir algum vetor unitário bem aqui.
.
E vamos chamá-lo u, você irá dizer que ele é um vetor unitário.
Isso é igual a 1 sobre... o comprimento de v vezes v...
Eu lhe mostrei isso no vídeo sobre vetores unitários.
Você pode construir um vetor unitário que pode ir na mesma
direção que qualquer vetor, apenas dividindo...
ou eu diria, multiplicando este vetor
por 1 sobre seu comprimento!
Em geral, nós sempre podemos redefinir a linha.
Todos os possíveis múltiplos escalares de v irão ser
a mesma coisa que todos os múltiplos escalares do nosso
vetor unitário u, que é apenas um múltiplo escalar de v!
Nós podemos redefinir nossa linha.
Se nós redefinimos nossa linha L, como sendo igual a todos
os possíveis múltiplos escalares do nosso vetor unitário, onde os
escalares eram qualquer membro dos números reais.
Nossa definição de projeção simplifica um bocado.
A projeção de x em L se torna x vezes nosso vetor unitário,
vezes o vetor unitário, vezes o vetor unitário ele mesmo...
Este caso que eu resolvi no vídeo anterior, no qual eu tinha
estes dois vetores.
No qual eu disse que o vetor v que definia a linha, eu penso, ele
era o vetor 2, 1.
Nosso vetor x era igual a 2, 3.
Se você quer quer resolver esta definição, você apenas terá que
tornar este cara primeiro num vetor unitário.
E a maneira que você o torna um vetor unitário, você calcula
a magnitude!
Neste caso, a magnitude de v é igual a quê?
2 ao quadrado... mais 1 ao quadrado é 1...
Você faz a raiz quadrada disso.
Deixe-me apenas escrever...
Isso é igual à raiz quadrada de 2 ao quadrado mais 1 ao quadrado, que
é igual à raiz quadrada de 5.
Você pode definir o seu u... seu vetor unitário pode ser apenas 1
sobre isso... vezes este cara.
1 sobre a raiz quadrada de 5 vezes 2, 1.
Você pode multiplicá-lo, ou não.
Você pode apenas deixá-lo nesta forma.
Você poderá sempre, para qualquer vetor v, você sempre pode encontrar um
vetor unitário que vai na mesma direção, assumindo que nós estamos
lidando com vetores diferentes de zero.
Você sempre poderá reduzir algo assim, na mesma outra
definição, como isso...
Onde isso é uma versão unitária vetorial do
nosso vetor v bem aqui...
Eu apenas disse: "olhe, isso é
uma transformação de Rn para Rn!
Uma coisa que nós não estamos certos é, que isso seja
uma transformação linear.
Nós sempre podemos escrever isso assim...
Digamos que isso sempre irá ser uma transformação
linear.
Existem duas condições para isso ser uma transformação linear.
Vejamos o que ocorre se eu faço a projeção em L de
dois vetores.
Digamos, o vetor a mais o vetor v.
Se eu faço a soma dos seus vetores...
Se isso é uma transformação linear, isso pode ser
equivalente a fazer cada uma das suas projeções
individuais e então as somar.
Vejamos se este é o caso.
Isso é igual a... pela nossa definição, nós iremos usar a versão
vetorial unitária, porquê ela é mais simples.
Isso é igual a mais b, isso é nosso x, escalar u.
E então, tudo isso vezes nosso vetor unitário.
Nós sabemos que nosso produto escalar tinha a propriedade distributiva,
então isso é igual a a escalar u mais b escalar u...
Estes são vetores unitários.
Tudo isso vezes o vetor u.
Estes são apenas escalares!
Então a multiplicação escalar tem propriedades distributivas...
Isso é igual a escalar u, vezes nosso vetor u.
Lembre-se, isso irá se tornar apenas algum escalar...
Mais b escalar u vezes nosso vetor unitário u.
Que é igual a...
Isso bem aqui é igual à projeção de a.
Isso é igual à projeção de a em L, por
definição, bem aqui...
Por esta definição,
se nós assumirmos que estamos lidando com a definição de vetor
unitário para a linha...
Isso é igual a... esta coisa toda bem aqui, ela é igual a
mais a projeção em L do vetor b.
Nós vimos que nossa primeira condição para isso ser uma
transformação linear se sustenta.
A projeção da soma de vetores é igual à soma das
projeções dos vetores!
Nossa segunda condição é que a projeção de um múltiplo
escalar deve ser igual ao múltiplo escalar da
projeção.
Deixe-me escrever isso aqui...
O que é a projeção em L de algum múltiplo escalar de algum
vetor a?
Isso é igual a ca escalar nosso vetor unitário u
vezes o vetor unitário u.
Isso irá ser bastante simples...
Isso é o múltiplo escalar.
Nós vimos nas nossas propriedades de produto escalar, isso é igual a c
vezes a escalar u, vezes o vetor u.
Isso irá ser igual a c vezes, isso bem aqui... isso é
a projeção de a em L.
Nós satisfizemos ambas nossas condições para transformações lineares...
Nós sabemos que nossa projeção em uma linha L em Rn é uma
transformação linear.
Isso nos diz que nós podemos representar isso como uma transformação
matricial.
Nós sabemos que esta projeção de x em L, nós já conhecemos esta
definição, isso pode ser reescrito...
Não dói reescrever isso...
Como x escalar alguma unidade vetorial que define nossa linha.
Deixe-me desenhar isso com um pequeno chapéu para lhe dizer que isso
é um vetor unitário.
Vezes a unidade vetorial ela mesma, então nós
agora temos o vetor.
Como eu posso escrever isso como um produto de matricial?
Como produto de matriz com vetor?
Eu quero escrever isso como o produto de uma
matriz vezes x.
Para simplificar, uma vez que eu estou lidando com uma
matriz, vamos nos limitar ao caso do R2...
Eu irei assumir que minha projeção em L irá ser o
mapeamento de R2 para R2.
Você pode fazer o que eu estou fazendo aqui em
uma dimensão arbitrária.
Se nós fizermos isso no R2, então nossa matriz A, bem aqui, isso
irá ser uma matriz 2 por 2...
Nós já vimos em muitos vídeos como resolver uma matriz
A, nós apenas pegamos a matriz Identidade que tem os vetores
de base padrão como colunas.
0, 1.
Ou 1, 0 e então 0, 1.
E então nós aplicamos a transformação para cada uma
dessas colunas.
Nós podemos dizer que A irá ser igual a... sua primeira
coluna irá ser igual à projeção em L desta
coisa bem aqui.
Nós faremos isso em laranja, bem aqui.
O que isso irá resultar...
Isso irá ser este escalar u.
Deixe-me escrever meu u...
Meu vetor unitário, vamos apenas assumir que u pode ser reescrito
como meu vetor unitário igual à soma u1 e u2...
Desta maneira...
Eu preciso pegar meu escalar, meu vetor unitário, deixe-me
escrever isso...
Leixe-me escrever isso ao lado...
A primeira coisa que eu quero fazer é descobrir qual é
a projeção... a projeção em L, deixe-me
escrever desta maneira...
Nós sabemos que a projeção é apenas igual a este escalar vezes
este vetor.
Deixe-me escrever isso...
O vetor 1, 0 escalar com o vetor unitário u,
que é apenas u1, u2...
Nós iremos ter isso vezes meu vetor unitário.
Eu escreverei isso desta maneira...
Vezes o vetor u1, u2...
Isso irá ser minha primeira coluna na minha
matriz de transformação.
Minha segunda coluna irá ser a mesma coisa, mas eu não estou
pronto para fazer a projeção deste cara.
A definição da nossa projeção é se você fizer o escalar desse cara
com nosso vetor unitário.
E então nós faremos o escalar...
Nós estamos fazendo o produto escalar de 0, 1.
0, 1 escalar meu vetor unitário u1, u2.
Eu irei multiplicar isso vezes meu vetor
unitário, vezes u1, u2.
Isso parece ser muito complicado, mas nós podemos simplificar isso quando
nós formos trabalhar na nossa matriz de transformação.
Vamos fazer isso...
Quando eu faço o escalar desses dois caras, o que eu obtenho.
Deixe-me escrever aqui...
Minha matriz A irá ser 1 vezes u1, mais zero vezes u2.
Isso é apenas u1.
Toda esta coisa simplifica para apenas u1, quando eu faço
o produto escalar dessas duas coisas.
Vezes u1, u2...
Isso irá ser minha primeira coluna.
E minha segunda coluna, se eu fizer o escalar desses dois caras, eu obtenho zero vezes
u1 mais 1 vezes u2.
Então eu irei obter u2 vezes minha unidade vetorial, u1, u2...
Se eu multiplicar tudo isso, isso será igual a quê?
Eu posso apenas escrevê-los como colunas, u1
vezes u1 é u1 ao quadrado...
u1 vezes u2 é u1, u2...
u2 vezes u1 é u2 vezes u1...
E então, u2 vezes u2 é u2 ao quadrado.
Você me dá qualquer vetor unitário e eu lhe darei a
transformação que lhe dá qualquer projeção de um outro
vetor qualquer na linha definida por ele...
Isso foi uma maneira bem longa de dizer isso...
Vamos voltar ao que fizemos anteriormente.
Digamos que eu quero encontrar qualquer projeção em uma linha, no
vetor... eu irei escrever aqui...
Nós faremos o mesmo exemplo que fizemos no vídeo anterior.
Se eu tenho algum vetor v que se parece com isso...
Nós dissemos que o vetor v era igual ao vetor 2, 1.
Este foi o meu vetor v.
Como nós podemos encontrar alguma transformação para a
projeção na linha definida por v?
Nesta linha bem aqui...
A linha definida por v...
O que nós podemos fazer é primeiro converter v num vetor unitário.
Nós podemos converter v num vetor unitário
que corre na mesma direção.
Algum vetor unitário u...
Nós já fizemos isso bem aqui...
Nós de fato apenas dividimos b... errr... v
por seu comprimento.
Vamos pegar v e dividir por seu comprimento.
O vetor unitário é este, 1... sobre a raiz quadrada de 5
vezes nosso vetor v.
Isso foi 1 sobre a raiz quadrada de 5 vezes nosso
vetor v, bem aqui.
Você começa com um vetor unitário ali.
Você apenas criou esta matriz e então nós teremos nossa
matriz de transformação.
Se esta é nossa u, ao quê nossa matriz irá ser igual a?
Isso é u...
Então nossa matriz irá ser igual a u1 ao quadrado.
O que é u1 ao quadrado?
Deixe-me reescrever nosso u um pouquinho... não em ângulos...
Nosso vetor u, nosso vetor unitário que define esta linha, é
igual ao vetor 2 sobre a raiz quadrada de 5 e 1 sobre
a raiz quadrada de 5.
Eu apenas multipliquei nosso escalar.
Se nós queremos construir esta matriz, nós pegamos a igual a
u1 ao quadrado.
O que é isso ao quadrado?
Isso se torna 2 ao quadrado 4... sobre a raiz quadrada de 5... ao quadrado...
o que são apenas 5.
Igual a 4 sobre 5.
O que é u1 vezes u2?
2 vezes 1 sobre a raiz quadrada de 5 vezes raiz quadrada de 5...
E então, 2/5...
Eu apenas multipliquei estes dois...
O que é u2 vezes u1...
Mesma coisa.
A ordem não importa quando eu estou multiplicando.
Isso também será 2/5.
O que é u2 ao quadrado...
1 ao quadrado sobre a raiz quadrada de 5 ao quadrado é apenas 1/5...
Agora nós podemos dizer... é essa é a coisa interessante sobre criar
estas matrizes... que a projeção... Digamos que nós temos
alguma, digamos que isso é a origem bem aqui, nós temos
algum outro vetor x, bem aqui...
E nós podemos definir nossa transformação.
A projeção em L quando L é igual a qualquer escalar
múltiplo do nosso vetor unitário u.
Isso está bem aqui...
Ele é um membro dos reais...
Isso é nossa linha L...
A projeção em L de qualquer vetor x é
igual à esta matriz.
Isso é igual à matriz 4, 5, 2/5, 2/5, 1/5 vezes x.
Que é um resultado bem interessante, ao menos para mim...
E uma vez mais, nós reduzimos tudo isso para apenas uma multiplicação
matricial.
Você paga este x e o multiplica por esta matriz,
você irá ter sua projeção em
L, na linha!
Se você pega este vetor, vamos dizer a, e você o multiplica
por esta matriz bem aqui, você irá obter
sua projeção.
Sua projeção na linha.
Se você pudesse pegar este vetor... Não! Ele precisa passar
pela origem!
Eu quero escrever isso numa posição padronizada.
Se eu pegar este vetor, bem aqui, e o multiplicar vezes
esta matriz, você irá ter este vetor, bem aqui,
que está contido na linha.
Quando você o subtrai disso, ele é ortogonal.
Nós sabemos a definição.
Isso é como se fosse a sombra deste vetor!
De qualquer maneira, eu penso que isso é bem interessante...