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Como pode uma bola mover-se para cima e ainda estar em queda? A resposta a esta questão
é que uma bola em queda livre está acelerando para baixo, com aceleração devido à gravidade,
independentemente de sua velocidade em um dado instante.
Lembrem-se de que uma bola em queda livre é aquela que sofre a ação de uma única força,
seu peso, para baixo. E ela acelera para baixo,
em reposta à força-peso. A aceleração da bola então manda em como
a velocidade da bola muda com o tempo.
Afinal de contas, é isto que quer dizer "aceleração": a taxa à qual a velocidade muda com o tempo.
O que o processo de queda não determina
é qual a velocidade da bola no momento em que entrou em queda livre.
Isto é algo completamente independente. Quando deixo uma bola cair do repouso,
estou escolhendo zero, para a velocidade inicial da bola.
Eu a solto e, por este momento tão curto, tenho controle sobre a velocidade da bola.
Eu determino que seja zero. Depois disto, a velocidade já não está
mais em minhas mãos, literalmente.
A partir do momento em que a solto,
a aceleração da gravidade passa a dominar. E a velocidade da bola,
que começou em zero por escolha minha, começa a mudar com o tempo, e a crescer mais e mais
para baixo. E a velocidade da bola cresce, aproximadamente,
dez metros por segundo para baixo, a cada segundo que ela cai.
Mas, eu não tinha que escolher uma velocidade inicial nula.
Eu poderia, por exemplo, soltar a bola com uma velocidade inicial para baixo.
Eu posso arremessá-la para baixo.
Desse jeito. Neste caso, no momento em que eu solto
a bola e ela se torna um objeto em queda livre, ela já tem uma velocidade grande para baixo.
De fato, eu dei um empurrão no processo de queda. Mas, uma vez que a bola tenha deixado
minha mão, ela acelerará de acordo com as regras para um objeto em queda, e ganhará
velocidade para baixo à taxa usual de dez metros por segundo, por segundo.
Bem, para os puristas, 9,8 metros por segundo,
por segundo. Isto nos abre outra possibilidade.
Em vez de deixar a bola cair do repouso, ou de jogar a bola
com velocidade inicial para baixo, e se eu jogasse a bola com velocidade inicial
para cima? Eu a jogo para cima. Neste caso, ela sobe.
Mas ela ainda acelera para baixo; ainda é uma bola em queda livre.
E então, ela continua indo para cima por um tempo. mas à medida que sobe mais e mais,
ela é puxada para baixo, acelerada para baixo, e portanto, está ficando cada vez mais lenta.
Eventualmente, ela para, e começa a descer rápido, mais rápido,
cada vez mais rápido. Bem, para analisar com mais cuidado
todas as propriedades de uma bola em queda livre mas de dirige para cima, precisamos
de mais espaço. Então, vamos sair, e comecemos a arremessar
uma bola lá fora.
Antes de começarmos a analisar com cuidado um arremesso de bola, eis uma questão
sobre seu percurso. Logo após a bola alcançar
sua altura máxima, na subida, ela começa a descer.
Exatamente na altura máxima, quanto valem sua velocidade e sua aceleração? No ponto máximo
de seu percurso, a bola, momentaneamente, para.
Logo antes deste instante, ela se movia par cima.
Logo após este intante, ela começou a mover-se para baixo.
Então, neste ponto, ela está numa transição de um movimento para cima, a um movimento para baixo,
e neste ponto, não é nem um nem outro. Ela nem sobe, nem desce.
Portanto, ela não se move: sua velocidade é zero.
Isto não quer dizer, no entanto, que ela não esteja acelerando.
Como qualquer bola em queda livre, ela ainda está acelerando para baixo, com a aceleração da gravidade
em sua totalidade. Então, voltemos à bola que eu acabei de jogar para cima.
Vou mostrar de novo, para lembrar a vocês
como a coisa acontece. A bola de basquete levou apenas 2,2 segundos
para completar seu percurso. Passou metade do tempo subindo
e metade do tempo descendo. Para ajudar vocês a verem
como aconteceu o movimento, eu posso começar a brincar com o vídeo do arremesso da bola.
A primeira coisa que farei é mostrar a vocês onde
a bola de basquete estava em cada instante de tempo.
A câmera grava 30 quadros por segundo, então vou ter imagens da bola de basquete
sempre presentes na tela, cada uma separada da outra por 1/30 s.
Aqui, então, está o mesmo arremesso da bola de basquete,
mas com todas as imagens anteriores da bola visíveis na tela.
A trilha de bolas de basquete nos dá informação suficiente para determinar
sua velocidade e a posição en cada quadro do vídeo.
Eu vou graficar os valores de velocidade e posição, como função do tempo.
Então, aqui estará o gráfico
da velocidade da bola contra o tempo, e aqui, o da posição contra o tempo.
Agora, quando mostro a vocês como ela evolui no tempo,
a coisa toda acontece muito rápido.
Então, vou mostrar em câmera lenta, a um décimo da velocidade normal.
Aqui está, então, a mesma bola arremessada, com sua velocidade e sua posição
graficados à medida que passa o tempo. O gráfico da velocidade da bola de basquete
em função do tempo é uma linha reta. Já vimos esta linha reta antes.
Quando solto a bola do repouso, sua velocidade em função do tempo
também é uma linha reta. Neste caso, a velocidade começou
em zero quando eu soltei a bola, e depois aumentou de modo constante para baixo.
Neste caso, a bola começou a cair
enquanto ela estava subindo, com uma velocidade grande para cima.
Então, ela começou sua queda livre com uma velocidade grande para cima, mas terminou
com uma velocidade grande para baixo. E a transição da velocidade grande para cima
a uma velocidade grande para baixo foi suave, constante e contínua.
A mudança de velocidade formou uma linha reta, quando foi graficada contra o tempo, à medida
que sua aceleração para baixo, que é a de um objeto em queda livre, gradualmente reduziu sua velocidade,
e depois gradualmente fez com que sua velocidade aumentasse mais e mais para baixo.
O efeito dessa aceleração para baixo no início foi de fazer a subida da bola mais lenta.
A bola começou a subir depois que eu a lancei
para cima com uma velocidade para cima grande, de modo que sua velocidade estava inicialmente para cima.
No entanto, sua aceleração apontava para baixo, e isto causa o que frequentemente chamamos de
desaceleração. Isto é, uma aceleração, mas oposta à velocidade.
Então, se você estiver se movendo para a frente, mas acelerando no sentido oposto,
você fica mais lento. A mesma coisa aconteceu à bola de basquete.
Ela estava se dirigindo para cima, a velocidade
apontava para cima, mas sua aceleração apontava para baixo. E esta aceleração era para baixo, constante,
de modo que a velocidade que apontava para cima gradualmente diminuía, constantemente,
constantemente, constantemente, até que em um instante de tempo, um único instante, a velocidade
tornou-se zero. Depois deste momento, que ocorreu na metade do percurso,
a aceleração para baixo sofrida pela bola fez com que sua velocidade fosse cada vez
maior para baixo. Ela aumentou constantemente para baixo.
Então, a primeira metade do percurso, a parte de subida, é a bola ter uma velocidade
para cima, que diminui constantemente, até tornar-se zero.
A segunda metade do percurso é a bola caindo de uma altura grande, com uma
velocidade apontando para baixo e que aumenta constantemente, saindo de zero.
Exatamente entre estes dois pontos, estas duas partes do movimento, está o instante de tempo
em que a velocidade não aponta nem para cima, nem para baixo,
o ponto onde a velocidade é zero. A bola está momentaneamente parada.
Mas, ela ainda está acelerando ali.
Então, ela continua sua transição de velocidade para cima a velocidade para baixo,
e logo retorna às minhas mãos. O gráfico da posição da bola em função
do tempo é um arco suave curvado para baixo.
A bolaS começa a subir suavemente no início, e depois faz um arco chegando a um topo sem inclinação.
Depois, ela se curva para baixo, com inclinação cada vez maior.
Isto reflete o movimento da bola, que começa a aumentar de altura rapidamente no começo,
depois cada vez mais devagar à medida em que a aceleração da bola em queda
diminui sua velocidade para cima. Ela para, momentaneamente,
e então começa a descer mais e mais e mais rápido, percorrendo distâncias
cada vez maiores a cada segundo. E então, obtemos uma subida rápida no início,
que torna-se cada vez mais lenta até parar, e depois uma descida lenta,
em que a velocidade aumenta mais e mais, até que ela chega com uma rapidez bastante grande.
O momento em que a bola de basquete alcança a altura máxima
é um momento interessante. Até aquele ponto, a bola tinha uma
velocidade vertical para cima que gradualmente diminuiu, mas ainda subia
a alturas cada vez maiores. Depois do momento em que atingiu a altura máxima,
a velocidade da bola começou a aumentar gradualmente para baixo.
Então, a bola começou a descer, afastando-se de sua altura máxima.
É por isso que o momento de altura máxima é aquele em que
a velocidade da bola para de apontar para cima, mas em que ela ainda não aponta para baixo.
Ela acaba de chegar exatamente a zero; este é o momento de máxima altura.
E o movimento da bola é notavelmente simétrico em torno do momento de altura máxima.
Se você observar onde a bola estava
um segundo antes de atingir a altura máxima, e um segundo depois de atingir esta altura,
é a mesma altura. A bola está à mesma distância abaixo da altura máxima,
antes e depois deste instante de tempo, um segundo antes e um segundo depois.
Não apenas isso, mas a rapidez da bola é a mesma.
Antes de atingir a altura máxima, a velocidade da bola apontava para cima.
Era uma velocidade ascendente. Depois de atingir a altura máxima, a velocidade
pasou a apontar para baixo, a ser uma velocidade descendente.
Mas a rapidez, nestes dois momentos, era a mesma. Então, há uma maravilhosa simetria em torno
do instante em que a bola atinge a altura máxima. Por causa desta simetria, a subida
e a descida da bola têm o mesmo aspecto, tanto se passarmos o vídeo para a frente, como para trás.
Praticamente não se consegue notar a diferença entre o vídeo em que arremesso a bola para cima
e o vídeo em que arremesso a bola para baixo, passado para a frente ou para trás.
Vou lhes mostrar. A moral da história é que uma bola em queda livre
está caindo, não importando qual sua velocidade no começo da queda.
Ela pode começar do repouso, pode começar com um arremesso leve para baixo,
ou pode começar com um arremesso para cima. Não importa.
Uma vez que a boa deixa minhas mãos, a única força que age sobre ela é a força peso,
e ela acelera para baixo com a aceleração devido à gravidade.
Todo o resto, as questões de velocidade inicial, e de como o movimento iniciou, são detalhes
com os quais podemos lidar. Então, as equações que dei antes
para uma bola partindo do repouso ainda são importantes,
mas precisamos refiná-las um pouco, para levar em conta a possibilidade de
a bola ter começado a cair com uma velocidade inicial diferente de zero.
Para olhar estas fórmulas levemente revisadas,
voltemos a meu laboratório. Para descrever o movimento de uma bola em queda livre
que começa sua queda com uma velocidade inicial diferente de zero, temos que
modificar um pouco as equações que dei para que descrevam o movimento de uma bola
em queda livre a partir do repouso. Temos que incorporar a possibilidade
de haver uma velocidade inicial que não seja zero. Então, vamos olhar a aceleração da bola,
sua velocidade, e finalmente, sua posição.
Bem, a aceleração da bola não muda por causa de nenhuma velocidade inicial.
Ela não tem nada a ver com a velocidade inicial da bola.
É simplesmente a aceleração devido à gravidade.
É uma bola em queda. E quer a bola esteja subindo,
ou descendo, ou indo para os lados, desde que a única coisa agindo sobre a bola
seja seu peso, ela está acelerando para baixo, com a aceleração devido à gravidade.
Fim de papo. Essa foi fácil.
A aceleração não muda. Okay, agora vamos à velocidade.
A velocidade sim, muda. Na equação antiga que tínhamos
para a bola solta do repouso, a velocidade, em qualquer momento, é simplesmente
a aceleração devida à gravidade, vezes o tempo em que a bola esteve em queda.
O produto desta aceleração devida à gravidade
vezes o tempo menos o instante de tempo em que a queda tem início, que escolhemos ser zero.
Então, em t=0, a velocidade é zero.
Bem, para levar em conta uma velocidade inicial diferente de zero,
bem, temos que somá-la. Então, no instante de tempo t=0, quando a bola ainda não
teve nenhum tempo de cair, e portanto não sofreu nenhuma aceleração
devido à queda, a velocidade da bola é a velocidade com que ela tem de início.
Portanto, simplesmente a somamos. Então, a fórmula que nos dá
a velocidade de uma bola em queda livre, tendo começado com velocidade inicial diferente de zero,
é a velocidade inicial da bola, mais a aceleração devida à gravidade vezes o tempo.
E isso é tudo. Finalmente, isso nos leva
à posição. Este cálculo é mais complicado.
Para começar, deveríamos levar em conta que a bola comece sua queda com uma posição
diferente de zero. E, para isso, somamos a posição inicial
à posição. Então, a posição em qualquer instante de tempo posterior
é igual à posição inicial, a do começo, mais alguma coisa.
E o que é esta coisa a mais que temos que somar à equação?
Bem, novamente, é a velocidade média da bola
no curso de sua queda; do momento em que a deixarmos cair,
até o instante de tempo final.
Então, é esta velocidade média, vezes o tempo entre o início do começo da queda
e o instante de tempo final. É o mesmo produto de antes,
mas agora a velocidade média é mais complicada,
porque ela não começou de zero. Ela começou de outro valor.
E se fizermos o cálculo com cuidado, veremos que ele é simplesmente
um calculinho algébrico. Ele não é difícil,
mas não vou tratar dele neste vídeo.
O resultado final é que a posição da bola durante sua queda em qualquer
instante de tempo onde zero é o momento onde a queda começou,
essa posição é igual à posição inicial da bola, onde a soltamos
mais a velocidade inicial da bola vezes o tempo.
E somamos metade da aceleração devida à gravidade, vezes o quadrado do tempo.
Então, estes são os três termos presentes na equação que dá
a posição final da bola.
O primeiro termo é um ajuste que leva o fato de que pode-se querer que a queda da bola
comece de uma posição qualquer que não seja zero.
O segundo termo leva em conta o fato de que a bola pode começar seu movimento
com uma velocidade inicial diferente de zero. E o terceiro termo reconhece
que uma bola em queda acelera para baixo, com a aceleração devida à gravidade.
E ela passa por uma evolução da posição proporcional
ao quadrado do tempo, isto é, ao tempo elevado ao quadrado.
Então, quer você se importe com estas relações quantitativas que
te dizem especificamente onde a bola está no espaço,
quão rápido ela se move e qual é sua aceleração, quer você queira simplesmente observar
a queda da bola, seu movimento ainda é bastante simples.
Ela começa com sua velocidade inicial e, uma vez em queda,
ela acelera para baixo. Então, sua velocidade muda
para baixo. Se ela estiver subindo em um determinado momento,
bem, ela subirá cada vez menos à medida que o tempo passar.
Se ela estiver indo para baixo, ela irá cada vez mais para baixo à medida que o tempo passar.
Então, ela usa esta velocidade para cobrir distâncias cada vez maiores, e vemos
estas subidas e descidas, ou simplesmente descidas, todas dominadas por esta aceleração
constante para baixo, a aceleração constante para baixo de uma bola em queda livre.
É hora de fazer novamente uma pergunta que fiz
durante a introdução desta parte. Suponha que eu jogue uma bola diretamente para cima.
Durante o tempo em que ela estiver acima de minha mão e indo para cima, existe alguma força
empurrando a bola para cima? Ao responder a esta questão, despreze quaisquer efeitos
devidos à presença de ar. A bola se move para cima
não por causa de uma força que a empurre para cima, mas por causa de sua própria inércia.
A bola deixou minha mão com uma velocidade apontando para cima.
E mesmo começando a cair no momento em que eu corto seu suporte,
leva um certo tempo para que a aceleração da bola para baixo mude a velocidade da bola para cima,
em uma velocidade para baixo. Neste ponto, você deve ter uma idéia bastante boa
sobre como bolas se movem para cima, quer você as deixe cair do repouso ou as jogue para cima.
Mas, a maioria dos esportes com bolas envolvem bolas em queda que não se movem somente na vertical.
Se a única coisa que pudéssemos fazer no baseball, no basquete, no futebol americano,
no futebol ou no vôlei fosse fazer a bola ir somente para cima e para baixo,
estes esportes seriam bastante tediosos. Eles ainda envolvem bolas em queda, mas
estas bolas têm outros movimentos. E no próximo vídeo,
analisaremos movimentos que não se dão apenas na vertical.