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Retomemos a esfera S2 com seus paralelos.
Acima de cada ponto de S2,
imaginemos um círculo de Hopf.
Observemos o que temos sobre um dos paralelos de S2,
por exemplo, o equador.
Eis o que está em cima de um outro paralelo
que se desloca para o sul.
Por que o toro parece se tornar tão fino?
Porque sobre o pólo sul,
com certeza, só há um único círculo.
E sobre o pólo norte, vê-se uma reta,
de fato, um círculo que passa pelo infinito, é a reta vermelha !
Avançando, façamos girar tudo isso agora.
Rotações, sim, mas rotações
do espaço de dimensão 4, bem entendido.
Para ser honesto, devo dizer que uma parte dessas figuras
era conhecida já há muito tempo antes de mim.
Atribui-se ao marquês de Villarceau
a existência de quatro famílias de círculos sobre o toro,
mas encontram-se, de fato, indícios, por exemplo,
numa escultura da catedral de Estrasburgo.
Tomemos um toro de revolução:
é a superfície descrita por um círculo
que gira em torno de um eixo situado em seu plano.
Observemos a seção do toro por um plano.
Observem aqui como escolhi o plano.
Diz-se que ele é bitangente ao toro,
simplesmente porque ele é tangente em, exatamente, dois pontos.
Mas, então, observem bem,
o plano corta o toro em dois círculos perfeitos.
Eis o teorema de Villarceau:
um plano bitangente a um toro corta esse toro em dois círculos.
Bem entendido, não há um só plano bitangente.
Eis aqui um outro que corta sobre dois outros círculos de Villarceau.
Pode-se fazer a mesma coisa para todos os planos bitangentes :
basta fazer girar.
Vejam: para cada ponto de um toro de revolução
pode-se fazer passar quatro círculos,
obtidos por cortes com planos especiais.
Um desses círculos é um paralelo,
um outro é um meridiano,
depois um primeiro círculo de Villarceau
e um segundo.
E como se pode fazer a mesma coisa com qualquer outro ponto do toro,
vê-se, então, que o toro está coberto por quatro famílias de círculos.
Dois círculos de uma mesma família não se encontram.
Um círculo azul encontra um círculo vermelho em um único ponto.
Um círculo amarelo e um círculo branco se encontram em dois pontos:
estes são círculos de Villarceau.
Observem bem os círculos amarelos :
estes são círculos de Hopf !
Vocês se lembram de quando nós observamos
o que está acima de um paralelo na fibração ?
Vê-se um toro coberto por círculos entrelaçados dois a dois,
como este toro, coberto por círculos amarelos.
E os círculos brancos, vocês perguntarão ?
Bem, esses são as fibras de uma outra fibração de Hopf !
aquela que é obtida ao se olhar a primeira num espelho...
Para terminar nosso passeio,
vamos tomar um toro de revolução,
com suas quatro famílias de círculos,
imaginá-lo na esfera S3,
depois fazer a esfera girar no espaço de dimensão 4,
para, enfim, projetá-la estereograficamente
no espaço de dimensão 3.
Obtêm-se, assim, superfícies
que são, igualmente, cobertas por quatro famílias de círculos:
esses são cíclides de Dupin.
Às vezes, desde que o toro passe pelo pólo de projeção,
a superfície passa pelo infinito…
Nesse movimento, as duas faces podem mesmo estar invertidas.
O interior do toro está em rosa, o exterior está em verde.
Uma simples rotação na quarta dimensão e upa!
o verde se torna rosa e o rosa se torna verde.
Isso não é magnífico ?!