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X
Estamos no problema 48.
Ele diz que se x elevado ao quadrado for somado a x, a soma é 42.
Vamos escrever esta expressão.
Se x elevado ao quadrado for somado com x, a soma será igual a 42.
Qual das seguintes alternativas poderia ser o valor de x?
Então, basicamente o que eles querem é que resolvamos esta equação.
A maneira mais fácil de fazer isto é escrevê-la como uma equação
quadrática igual a 0 e então fatorá-la.
Então, nós poderíamos escrever isto como x elevado ao quadrado mais x menos 42 é
igual a 0.
Vamos pensar.
Que dois números que quando somados são iguais a 1, e quando eu
os multiplico são iguais a menos 42?
E, o fato de que quando eu os multiplico eles são iguais a menos 42
me diz que um deles deve ser positivo e um deles
deve ser negativo.
Esta é a única maneira quando vocês multiplica dois números
de obter um número negativo.
Então, um deles tem que ser positivo, e um deles tem que
ser negativo.
E, portanto, quando estamos somando um positivo e um negativo,
estamos na verdade encontrando a diferença entre os dois.
Então, a diferença entre os dois números tem que ser 1 e
seu produto deve ser 42.
E, eu percebi quando olho para o 42, eu imediatamente
penso, ah, 6 e 7.
6 vezes 7 é 42.
E, como quando nós os somamos obtemos um 1 positivo,
7 provavelmente é o positivo e menos 6 ou 6 provavelmente é
o número negativo.
Vamos tentar fazer isto.
x mais 7 vezes x menos 6 é igual a 0.
E, certo, 7 vezes menos 6 é menos 42.
Na verdae, 7x mais menos 6x é igual a x positivo.
Ou, vocês poderiam pensar, 7 mais menos 6 é igual ao
coeficiente no x, que é 1.
Mas, de qualquer maneira, isto funciona.
E, vocês podem multiplicar isto e testar.
E, tudo que estou dizendo não é nenhuma mágica.
O motivo pelo qual eu digo que eles precisam somar dando 1 é
porque quando vocês multiplicam isto, é isto
que cria este termo.
Este 7 vezes x mais menos 6 vezes o outro x.
É isto que cria este termo quando vocês multiplicam.
Este termo vem do x vezes o x.
O 42 negativo vem de 7 vezes menos 6.
De qualquer maneira, agora estamos neste ponto.
Agora, nós dizemos, ok, como obtemos-- nós temos duas coisas quando
os multiplicamos para ser igual a 0.
Bem, isto significa que um deles ou os dois devem
ser iguais a 0.
Então, isto significa que x mais 7 é igual a 0, o que significaria
subtrair 7 dos dois lados.
O que significa que x é igual a menos 7.
Ou x menos 6 é igual a 0.
Somamos 6 aos dois lados. x é igual a 6. x seria
6 ou menos 7.
E, eles têm uma das alternativas aqui,
que é a alternativa A.
Próximo problema.
49.
Que quantidade deve ser acrescentada aos dois lados desta equação
para completar o quadrado?
Então, quando vocês completarem o quadrado, vocês querem que a coisa
se pareça com um-- vocês querem que o que estiver no lado
esquerdo se pareça com um quadrado perfeito.
E, o que eu quero dizer com um quadrado perfeito?
Assim, se eu tivesse x mais a elevado ao quadrado, isto é igual a x mais a
vezes x mais a.
E, isto é igual a x vezes x, x elevado ao quadrado.
x vezes a, então isto é mais ax.
E, agora, este a vezes este x.
Então, este é um outro ax.
Mais este a vezes aquele a.
Mais a elevado ao quadrado.
E, isto é igual a x elevado ao quadrado.
Mais-- nós temos dois destes agora-- mais 2ax mais a elevado ao quadrado.
Então, basicamente, nós queremos que, nós queremos que o lado esquerdo
tenha esta forma.
Assim, nós dizemos que este é um quadrado perfeito.
Nós podemos dizer que isto é a mesma coisa que x mais a elevado ao quadrado.
Vamos pensar agora sobre como fazer isto.
Se temos que x elevado ao quadrado menos 8x é igual a 5 e eu coloco
um espaço aqui porque nós queremos somar ou
subtrair algo aqui de forma que isto se pareça com um quadrado perfeito.
Vamos pensar sobre isto.
Quando temos este formato, para que esta coisa seja um
quadrado perfeito, independentemente do que é este coeficiente aqui,
este termo aqui deve ser metade deste, elevado ao quadrado.
a elevado ao quadrado é metade de 2a elevado ao quadrado.
Então, se pegarmos metade de menos 8, será menos 4.
Neste caso, se disséssemos que 2a é igual a 8, a
seria menos 4.
Portanto, menos 4 elevado ao quadrado é o que?
É 16 positivo.
E, isto é uma equação.
O que fazemos com um lado da equação temos que
fazer com o outro lado da equação.
Então, devemos dizer que isto também é igual a.
Assim, precisamos adicionar 16 aos dois lados.
Caso contrário, estaríamos alterando a equação.
Agora, isto, espero que vocês já reconheçam isto
como um quadrado perfeito.
Quero dizer, vocês poderiam olhar para este padrão aqui ou vocês poderiam
dizer, ok, se eu adicionar menos 4 a ele mesmo duas vezes eu obtenho menos 8.
Se eu multiplicar ele por si mesmo eu obtenho 16.
Então, isto é x menos 4 elevado ao quadrado.
Isto é igual a 25.
E, na verdade, se vocês estiverem curiosos, nós fizemos isto
na Khan Academy, nós fizemos alguns vídeos sobre isto--
é assim que vocês provam a equação quadrática.
Basicamente, vocês completam o quadrado com números arbitrários
a, b e c, e obtêm a equação quadrática.
Vocês sabem, nós mostramos isto em 10 minutos, de forma
que isto não é uma coisa muito difícil de entender.
Eles só querem saber o que adicionamos aos dois lados
desta equação?
Que quantidade deve ser adicionada aos dois lados desta equação
para completar o quadrado?
A resposta para esta daqui foi 16.
Mas, eles poderiam ter igualmente dito para resolvermos
completando o quadrado.
E, vocês diriam oh, x menos 4 elevado ao quadrado é igual a 25.
Então, x menos 4 é igual a mais ou menos 5.
A seguir, vocês poderiam dizer, x é igual a mais ou
menos 5 mais 4.
E, depois vocês poderiam dizer, ok, que é 4 mais
5 positivo são 9.
4 mais menos 5 é-- ou, menos 1.
De qualquer modo, eles não nos pediram para fazer isto, então não precisamos
perder muito tempo pensando sobre isto.
Vamos ver, estamos no problema 50.
Vejamos, problema 50.
Vou copiar e colar o 50 e 51.
Certo, quais são as soluções para a equação
quadrática x elevado ao quadrado mais 6x é igual a 16?
E, a tentação aqui é realmente tentar resolver
da mesma forma que fazemos em uma equação linear.
Não sei, fatorar um x e-- não sei, fazer
qualquer outra coisa.
Mas, o importante aqui é reconhecer que isto é uma
equação quadrática.
E, a forma mais fácil de resolvê-la é colocar todos os termos
de um lado e depois obter um 0 no outro lado.
A seguir, ou nós a fatoramos ou usamos a
equação quadrática.
Ou completamos o quadrado, seja lá o que precisamos fazer.
Vamos então subtrair 16 dos dois lados.
E, obtemos x elevado ao quadrado mais 6x menos 16 é igual a 0.
Eu apenas subtrai 16 dos dois lados para chegar aqui.
E, antes de passarmos para a equação quadrática, vamos
ver como podemos fatorar isto.
Então,que dois números quando somados, são iguais a 6-- e nós
queremos 6 positivo-- e quando multiplicados são iguais a menos 16?
E, mais uma vez, como é um menos 16, se vocês multiplicarem os dois
números vocês obterão um número negativo.
Eles devem ter sinais diferentes.
Um deve ser positivo e um tem que ser negativo.
E, sua diferença será 6 porque um é positivo e
o outro é negativo.
Vamos pensar sobre isto.
Então, se eu tivesse menos-- bem, 8 e 2 é igual a 16.
E eles estão distantes 6.
Assim, seu fizesse mais 8 e menos 2-- certo.
Mais 8 e menos 2 é 6 positivo.
Então, ele é x mais 8 vezes x menos 2.
E, isto fica mais fácil quanto mais praticarmos.
Vocês se perguntam, ok, quais são os dois números?
16.
OK.
8 e 2.
Bem, eles terão que ter sinais diferentes.
Mas, eu tenho um número positivo aqui, então o
número que for maior provavelmente será o número positivo.
Então, 8 positivo e menos 2.
Certo, quando os somamos, eles são iguais a menos 6.
Sim, funciona.
Então, estabelecemos isto como igual a 0.
E, dizemos, ok, isto deve ser igual a 0, ou aquilo deve ser
igual a 0.
Então, x é igual a menos 8.
Se vocês disserem que x mais 8 é igual a 0, então vamos subtrair 8
dos dois lados e obtemos que x é igual a menos 8.
Eu não deveria ter pulado este passo, mas
vou fazê-lo aqui.
Ou, vocês poderiam dizer que x menos 2 é igual a 0.
Adicionamos 2 aos dois lados, e obtemos que x é igual a 2.
Que x torna este termo igual a 0?
Ou, vocês poderiam descobrir isto olhando.
Assim, x poderia ser menos 8 ou 2, e esta é a alternativa C.
Problema 51.
Lina resolveu corretamente a equação x elevado ao quadrado mais 4x
é igual a 6 completando o quadrado.
Que equação é parte da solução dela?
OK, então é a mesma coisa.
x elevado ao quadrado mais 4x.
E, quando vocês completarem este quadrado vocês irão
somar algo aqui.
Então, vou deixar um espaço em branco.
É igual a 6.
Agora, o que eu poderia adicionar aqui que tornaria esta
expressão um quadrado perfeito?
Bem, temos o mesmo padrão que tivemos
em alguns problemas passados.
Seja lá o que está aqui, ele deve ser a raiz quadrada de metade disto.
Então 4-- bem, metade de 4 é 2.
2 elevado ao quadrado é 4.
Então, preciso adicionar 4 a este lado.
Se eu adicionar 4 a este lado, tenho que adicionar 4
a este lado também.
Agora, este 2 mais 2 é igual a 4.
2 vezes 2 é igual a 4.
Então, isto é x mais 2 elevado ao quadrado.
E, o que eu quero mesmo é que vocês usem a intuição.
Não memorizem os passos para completar o quadrado.
Eu quero que vocês entendam por quê.
Isto é a raiz quadrada de metade daquilo.
E, nós mostramos isto no início.
Elevem vários binômios ao quadrado e vejam por si mesmos que
este será sempre o caso.
De qualquer forma, isto é x mais 2 elevado ao quadrado.
Isto será igual a-- 6 mais 4 é igual a 10.
E, esta é a alternativa B.
Acho que temos tempo para mais um.
Mais um problema, problema 52.
Já copiei e agora colei.
Carter está resolvendo esta equação por meio de fatoração.
Que expressão poderia ser um dos seus fatores corretos?
Novamente, eu gosto de separar pessoalmente
o número que cabe em todos eles.
E, todos estes são divisíveis por 5.
Isto simplifica tudo na minha cabeça.
Se eu dividir todos eles por 5-- na verdade, eu poderia apenas
dividir os dois lados desta equação por 5.
0 dividido por 5 é 0.
E, a seguir, este lado esquerdo dividido por 5 fica 2x
elevado ao quadrado menos 5x mais 3 é igual a 0.
Então, se isto for 2x elevado ao quadrado aqui, então serão dois
números quando vocês os multiplicarem será igual a 3 e quando vocês-- vamos
pensar sobre isto um pouco.
Na verdade, vou escrever por que acho que vou precisar
de mais espaço.
2x elevado ao quadrado menos 5x mais 3 é igual a 0.
E, eu apenas dividi os dois lados da equação
por 5 para obter isto.
Vamos ver o que podemos fazer aqui.
Então, temos um 2x elevado ao quadrado aqui e eles já nos
deram a dica de que nós vamos ter um número inteiro como solução.
Então, nós podemos fatorar isto.
A intuição me diz que isto será 2x vezes--
vocês sabem, mais alguma coisa.
Mais a.
Vezes-- bem, vezes o que?
Provavelmente vezes x, certo?
2x vezes x é 2x elevado ao quadrado.
Agora, isto não seria completamente óbvio se eles
já não tivessem nos dito que nós poderíamos fatorar isto.
Talvez vocês tenham que usar uma
equação quadrática ou algo.
Na verdade, a equação quadrática não seria
uma coisa errada para usar aqui porque vocês podem
apenas substituir.
Mas, vamos ver se conseguimos resolver com base na intuição.
Então, isto será 2x mais algo vezes x mais
outra coisa.
Se multiplicarmos isto, teremos 2x vezes x é 2x
elevado ao quadrado como deveria ser.
2x vezes b é mais 2bx.
a vezes x é mais ax.
a vezes b é mais ab.
Vamos ver então o que obtemos.
Então, mais 2b mais ax mais ab.
2x elevado ao quadrado.
Ok, agora podemos fazer a correlação de padrão.
Esta era nossa coisa original.
Então, 2 vezes b mais a deve ser igual a-- este termo é
a mesma coisa que este termo aqui.
E, este termo deve ser a mesma coisa que
este termo aqui.
Antes de mais nada, eu tenho um 3 positivo aqui.
Então, estou multiplicando dois números para obter um 3 positivo.
Então, ambos devem ser positivos ou negativos.
E, a outra coisa interessante que temos-- quando eu pego
2 vezes um deles mais o outro, eu
obtenho um número negativo.
Então, a única maneira quando estamos lidando com números negativos,
e quando apenas os multiplicamos por um positivo e os adicionamos
entre si, vocês obtêm outro número negativo, se ambos
forem negativos.
Isto nos disse que ambos devem ser negativos
porque isto é positivo.
E, portanto, como vocês os somaram sem nenhum sinal
negativo vocês obtiveram um número negativo, isto diz para vocês que ele
também deve ser negativo.
Então, vamos ver.
Vamos tentar o 3-- 3 negativo e 1 negativo.
Se 3 negativo e 1 negativo.
Vocês estão certos.
Sim.
Se b for igual a menos 1 e a for igual a menos 3, então 2
vezes menos 1 é menos 2.
Menos 3.
Certo, então b é igual a menos 1 e a é igual a menos 3.
Esta é uma forma sofisticada aqui.
Quero dizer, não é como apenas substituir, uma maneira muito mecânica
de fazer isto.
A equação quadrática é uma forma, mas esta é a melhor maneira de,
pelo menos, eu sei como fazer isto sem ela.
Portanto, sabemos o que é a e b.
Então, é 2x-- a é menos 3.
2x menos 3 vezes x mais b. b é menos 1.
Então, esta é a fatoração.
Assim, 2x menos 3 vezes x menos 1, qual delas?
Eles têm esta daqui.
2x menos 3.
Acabou meu tempo.
Vejo vocês no próximo vídeo.