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Este é um autorretrato que Rembrandt fez em 1640,
e o interessante dele é que, como outros grandes artistas,
como Leonardo da Vinci, Salvador Dali
e muitos, muitos outros, Rembrandt
se importava com algo chamado "proporção áurea".
Já fiz outros vídeos sobre isso,
e trata-se de um número fascinante
que geralmente é denotado pela letra grega fi.
Se o expandirmos, é um número irracional: 1,61803,
e continua infinitamente,
mas o fi tem algumas propriedades matemáticas legais,
ou a proporção áurea.
Se você começar com o fi e somar a ele...
Vou começar ao contrário.
Se começarmos com 1 e somarmos a ele 1 sobre fi...
Deixe-me caprichar mais.
Se somamos a isso 1 sobre fi, o resultado é fi!
Isso é legal.
Se você multiplicar os dois lados da equação
por fi, sabe que se começar com fi
e somar 1, vai ficar com fi ao quadrado.
É um número que, somando um, tem-se o quadrado dele.
Isso tudo é muito legal.
Pode até ser expressado como fração contínua.
fi pode ser expressado como 1 mais 1 sobre 1 mais 1 sobre 1 mais 1
sobre, e assim infinitamente.
Isso também dá fi.
Deu para perceber que este é um número muito legal.
Ele não só é legal matematicamente
como aparece na natureza,
e é usado pelos artistas porque eles acreditam
que ele ajuda a definir a beleza humana.
E vemos que Rembrandt o levou em conta
em seu quadro. Como sabemos disso?
É o que vamos analisar no exercício deste vídeo.
Podemos construir um triângulo.
É claro que estes triângulos não fazem parte do quadro.
Desenhamos por cima.
Mas se puséssemos a base de um triângulo
onde ele apoia os braços e se os lados do triângulo
acompanhassem seus braços e ombros e se encontrassem
no alto do arco, construiríamos o triângulo ABD,
como fizemos aqui.
E é para os olhos humanos que olhamos
naturalmente quando voltamos o olhar para um rosto
ou para a pintura de um rosto.
Se traçarmos uma reta conectando os olhos dele
e que é paralela ao segmento BD -
vamos chamá-lo de segmento PR -
veremos que a razão entre o triângulo menor
e o triângulo maior envolve fi.
E estas são as informações que temos
sobre este quadro, o que é fascinante.
A razão entre o comprimento dos segmentos CD e BC é de fi para 1.
Então se traçarmos a altura deste triângulo maior,
a razão de CD, o comprimento de CD para BC, é fi.
Então é bem provável que Rembrandt tenha pensado nisso.
E sabemos que PR é paralelo a BD.
Construímos assim,
então isto é paralelo a isto.
E a próxima pista prova
que Rembrandt realmente pensou nisso.
A razão entre AC e AQ.
AC é a altura do triângulo maior.
A razão entre ela e AQ, que é
a altura do triângulo de cima, é fi mais 1 para 1,
ou podemos dizer que a razão é fi mais 1.
Então está claro que Rembrandt pensou nisso.
Usando todas essas informações, vamos explorar um pouco.
Vamos buscar uma expressão
que seja a razão entre a área do triângulo ABD,
portanto a área do triângulo maior,
e a área do triângulo APR,
que é este triângulo menor aqui.
Queremos achar a razão entre a área do triângulo maior
e a área do triângulo menor,
e quero tentar fazer isso em termos de fi,
tentar achar uma expressão que só envolva o fi
ou números constantes
ou que manipule o fi de alguma forma.
Pause o vídeo agora e tente fazer isso.
Um passo de cada vez. Qual é a área de um triângulo?
A área de qualquer triângulo é 1/2 vezes base vezes altura.
Então a área do triângulo ABD nós
expressaríamos como 1/2 vezes a nossa base...
A base é o comprimento do segmento BD.
Então 1/2 vezes BD.
E qual é a altura?
É o comprimento do segmento AC.
1/2 vezes BD... Vou usar a mesma cor.
Vezes o comprimento do segmento AC.
Esta é a área do triângulo ABD.
1/2 base vezes altura.
Qual é a área do triângulo APR?
Vai ser 1/2 vezes o comprimento da base,
que é PR, o segmento PR, o comprimento dele,
vezes a altura do segmento AQ,
que podemos representar assim.
Como simplificamos um pouco isto?
Podemos dividir 1/2 por 1/2. Eles se anulam.
O que mais sabemos?
Nós sabemos a razão entre AC e AQ.
A razão entre AC e AQ é de fi mais 1 para 1.
Ou podemos dizer que isto é igual a fi mais 1.
Deixe-me reescrever de outra forma.
Isto vai ser igual a...
Temos o comprimento do segmento BD
sobre o comprimento do segmento PR,
e podemos reescrever esta parte como
isto é igual a ph mais 1 sobre 1.
Vou fazer isso: vezes fi mais 1 sobre 1.
Qual é a razão entre BD e PR?
BD e PR.
A razão entre a base do triângulo maior e a base
do triângulo menor.
Vamos pensar um pouco.
Você deve ter percebido que o triângulo maior
e o menor são semelhantes.
Os dois têm o ângulo A em comum,
e como PR é paralelo a BD,
sabemos que este ângulo corresponde a este.
Então estes são ângulos congruentes.
E sabemos que este ângulo corresponde
a este ângulo aqui.
Então temos 3 ângulos correspondentes
que são congruentes.
Este é congruente com ele mesmo, pois está nos dois triângulos.
Este é congruente com este e este, com este.
Com três ângulos congruentes, temos dois triângulos semelhantes.
O que é útil nos triângulos semelhantes
é a razão entre as partes correspondentes.
Os comprimentos das partes correspondentes
dos triângulos semelhantes serão iguais.
E nós temos uma dessas razões.
Temos a razão entre a altura do triângulo maior
e a altura do triângulo menor.
AC para AQ é fi mais 1 para fi.
Se isso é verdadeiro para uma parte correspondente
do triângulo semelhante,
é verdadeiro para qualquer parte correspondente dele:
a razão será fi mais 1 para 1.
Portanto, a razão de BD, a razão entre a base do triângulo maior
e a base do menor, também vai ser fi mais 1 para 1.
Vou escrever assim.
Também pode ser reescrito como fi mais 1 sobre 1.
Como simplificamos isto?
Temos fi mais 1 sobre 1 vezes fi mais 1 sobre 1.
Se dividimos por 1, não mudamos o valor.
Então isto será igual a... Merecemos um rufar de tambores.
É igual a fi mais 1 ao quadrado.
Bem legal. E pense nisto,
porque já vimos que fi mais 1 é igual a fi ao quadrado,
e há muitas formas interessantes de se analisar isto.