Tip:
Highlight text to annotate it
X
Sou Adrien Douady.
Toda minha obra matemática é centrada
em torno dos números complexos.
Contribuí para o progresso da geometria algébrica
e da teoria dos sistemas dinâmicos.
Esses números têm uma longa história.
Vocês vêem aqui, à esquerda, Tartaglia e Cardano,
os pioneiros, que viveram durante o Renascença.
À direita, Cauchy e Gauss,
que consolidaram a teoria, no século dezenove.
Os números complexos não são
tão complexos assim como se poderia crer !
Eles foram primeiramente chamados de “números impossíveis”
e são ainda chamados, às vezes, de “imaginários”.
Porque, na verdade, é preciso um pouco de imaginação...
Hoje em dia, porém, esses números invadiram a ciência
e não são mais realmente misteriosos.
É, em particular, graças a eles que se pode
construir belos conjuntos fractais
e tenho trabalhado muito nesse assunto.
Cheguei mesmo a realizar um filme: A dinâmica do coelho,
um dos primeiros filmes de animação matemática.
Vou, em primeiro lugar, explicar os números complexos no quadro.
Os matemáticos gostam muito de escrever com giz...
Vocês verão que a régua, o esquadro e o transferidor
têm, por vezes, comportamentos estranhos...
Tracemos uma reta graduada no quadro.
Uma das mais belas idéias da matemática
é ligar a geometria à álgebra.
É o ponto de partida da geometria algébrica.
Da mesma forma como se juntam os números, pode-se juntar pontos.
Eis um ponto vermelho sobre a reta e um outro ponto azul.
Somemos esses dois pontos.
É o ponto verde ! Um mais dois igual a três !
Se os pontos vermelho e azul se deslocam,
sua soma é ainda o mesmo ponto verde.
Mais interessante ainda, pode-se multiplicar pontos.
Observemos, por exemplo, a multiplicação por -2.
Ela transforma o ponto 1 no ponto -2, certamente.
E, se se multiplica ainda por -2,
deve-se fazer o mesmo movimento :
mudar de lado em relação à origem e
dobrar a distância à origem.
Obtém-se 4, com certeza.
Se se multiplica duas vezes em seguida por -2,
multiplicou-se por 4.
A multiplicação por -1 é mais simples.
Cada ponto é levado no seu simétrico
em relação à origem,
isto significa que é preciso efetuar uma meia volta,
uma rotação de 180 graus, se preferir.
Se se multiplica um número por ele mesmo,
o resultado é sempre positivo.
Por exemplo, se se multiplica por -1,
gira-se de uma meia volta ;
então, se fizermos uma segunda vez,
volta-se ao ponto de partida !
E é por isso que -1 vezes -1 é igual a +1,
simplesmente.
Vocês vêem, por exemplo, que a multiplicação por -1
leva 2 em -2
e, que se multiplicamos ainda uma vez por -1,
volta-se a 2.
Evidente, não?
Não há, no entanto, nenhum número que,
multiplicado por ele mesmo dê -1.
Dito de outra forma, -1 não tem raiz quadrada.
Mas, certamente, isso seria não contar
com a imaginação dos matemáticos !
Robert Argand teve uma bela idéia no começo do século 19.
Ele disse : “se multiplicar por menos 1,
é girar de 180 graus,
sua raiz quadrada é girar pela metade, 90 graus.
Se eu girar duas vezes de um quarto de volta,
giro de meia volta !
O quadrado de um quarto de volta é uma meia volta, portanto menos um.”
Bastava pensar nisso!
Argand declara, então, que a raiz quadrada de -1
corresponde ao ponto que é a imagem de 1 pela rotação de 90 graus.
Certamente, isso nos força, porém, a sair de nossa reta horizontal,
e acabamos por atribuir um número
a pontos do plano que não estão na reta !
Como essa construção é um tanto bizarra,
diz-se que esse ponto, raiz quadrada de -1, é um número imaginário
e os matemáticos o denotam por i.
Assim, uma vez que ousamos sair da reta,
a continuação fica fácil.
Podemos representar 2i, 3i, etc.
A todos os pontos do plano corresponde um número complexo
e, reciprocamente, todo número complexo define um ponto do plano.
Todos os pontos do plano tornam-se números !
Esses números podem ser somados como números comuns.
Observem o ponto vermelho, que é o número 1 + 2i.
Adicionemos a ele 3+i, que é o ponto azul.
Pois bem, pode-se simplesmente fazer a adição,
como se aprende na escola.
Isso dá 4 + 3i.
Do ponto de vista geométrico, essa é a adição de vetores.
Vocês vêem que os números complexos se somam sem problema !
Mas, bem mais interessante ainda,
é que esses números complexos podem também se multiplicar
como os números reais.
Vejamos ...
Sabemos multiplicar um número complexo por 2, por exemplo.
Duas vezes 1 + i, isso vai dar, com certeza,
2 + 2i etc.
Do ponto de vista geométrico, é fácil multiplicar por 2:
é justamente uma expansão por 2 :
o dobro do ponto vermelho, é o ponto verde !
Multiplicar por i, não é mais difícil
pois sabemos que i corresponde a um quarto de volta.
Para multiplicar 3 + i por i,
é suficiente, então, fazer girar o ponto de um quarto de volta.
Encontra-se -1 + 3i.
Não tão complexos esses números complexos !
E, finalmente, é possível multiplicar dois números complexos
quaisquer sem problema.
Tentemos, por exemplo, multiplicar 2 + 1,5 i por -1 + 2,4 i.
Como se faz habitualmente,
multiplica-se, antes, por 2, depois por 1,5 i e somam-se os resultados.
Obtém-se, então :
“duas vezes etc...”
Tem-se, então
-2 + 4,8 i - 1,5 i + 3,6 i vezes i
Mas, lembremos que i ao quadrado é igual a -1,
pois foi por isso que ele foi inventado !
Isto resulta
-2 + 4,8 i mais etc…
Organizemos um pouco tudo isso. Encontra-se
-2 -3,6 + 4, 8 i - 1,5 i,
isto é,
-5,6 + 3,3 i.
Pois bem, eis que somos agora capazes
de multiplicar números complexos,
ou, dito de outro modo, sabemos multiplicar pontos do plano !
Isso é incrível,
acreditávamos que o plano fosse de dimensão 2
porque são necessários dois números
para descrever a posição de um ponto qualquer,
e agora, digo a vocês que é suficiente, de fato, um só número !
Certamente, mudamos nossos números !
E se trata agora de números complexos !
Esta é a ocasião para definir duas noções :
o módulo e o argumento de um número complexo.
O módulo de um número complexo z,
é simplesmente a distância à origem do ponto correspondente do plano.
Tomemos a régua para medir o módulo do ponto vermelho,
isto é, de 2 + 1,5 i
Vejamos, o comprimento é de 2,5.
O módulo de 2 + 1,5 i é, portanto, 2,5.
Para o ponto azul, acha-se 2,6.
E, para o ponto verde, que é o produto
dos dois pontos, vermelho e azul,
acha-se 6,5.
Esse é um fato geral : o módulo do produto de dois números complexos
nada mais é do que o produto dos módulos dos dois números.
O argumento de um número complexo
obtém-se medindo o ângulo entre o eixo das abscissas
e a reta que une a origem ao ponto.
Aqui, por exemplo, o argumento do número complexo vermelho
é igual a 36,8 graus.
O do ponto azul é 112,6 graus.
E o do produto, o ponto verde é 149,4 graus :
é a soma dos argumentos dos dois números...
Quando se multiplicam dois números complexos,
os módulos se multiplicam e os argumentos se somam.
Terminemos nosso primeiro encontro com os números complexos
com a projeção estereográfica.
Tomemos uma esfera tangente ao quadro na origem.
Pela projeção estereográfica,
a cada ponto do plano do quadro,
isto é, a cada número complexo,
corresponde um ponto da esfera.
Só o pólo norte da esfera,
isto é, o pólo da projeção,
não está associado a nenhum número complexo.
Diz-se que ele está associado ao infinito.
Assim, os matemáticos dizem que a esfera
é uma reta projetiva complexa.
Por que reta ?
Porque é necessário um só número para descrever seus pontos !
Por que complexa ?
Porque esse número é complexo.
Por que projetiva ?
Porque nós juntamos um ponto no infinito ao projetar.
Um tanto bizarros esses matemáticos
que dizem, agora, que a esfera é uma reta ?