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Existem situações práticas corriqueiras que o valor de uma quantidade
depende do valor de outra, por exemplo,
o salário de uma pessoa depende do número de horas que ela trabalha;
a velocidade um objeto depende da distância que ele percorreu;
o volume de uma chapa depende de sua temperatura.
A relação entre essas quantidades é o que chamamos de função.
Uma função é uma regra entre um conjunto de entradas e um conjunto de admissíveis saídas
com a propriedade de que cada entrada está relacionada exatamente a uma saída.
Fica mais fácil de entender a definição se nós ilustrarmos
a função como uma máquina,
onde você coloca uma entrada,
a máquina aplica a regra nessa entrada e sai com o resultado.
O conjunto de entradas para a função nós chamamos de conjunto A.
Chamaremos aqui.
E o de saídas de conjunto B.
Se a regra que aplicarmos aqui for:
"Pegue um elemento a do conjunto A e some dois."
e os elementos do conjunto A forem um, dois, sete e dez,
Quais serão os valores do conjunto B
a qual a regra f associa a cada valor do conjunto A?
Bom, vamos pegar um elemento do conjunto A, elemento um,
e aplicar a regra, vamos somar dois. Temos três.
Então, nós jogamos o elemento na nossa máquina,
a máquina aplica a regra,
e, sai com o resultado. No caso aqui, três.
Vamos pegar o segundo elemento e aplicarmos a regra.
2+2=4, nós pegamos o elemento, jogamos na regra e saímos com o resultado, quatro.
O terceiro elemento aplicamos a regra,
e saímos com o resultado.
E o último elemento do conjunto,
aplicamos a regra,
e saímos com o resultado.
Bom, se nós mudarmos a regra,
mas, continuamos com as mesmas entradas, certamente teremos saídas diferentes.
Se adotamos agora a regra como sendo:
"Pegue um valor de A, multiplique por três e subtraia um."
Quais serão os novos valores do conjunto de saídas?
Bom, vamos fazer a mesma coisa só que aplicando na nova regra.
Vamos pegar o elemento do conjunto A, multiplicarmos por três e subtraírmos um.
3×1-1=2
Vamos pegar o segundo elemento e subtrairmos um.
3×2-1=5
Vamos pegar o terceiro elemento e subtraírmos um.
3×7-1=20
Vamos pegar o último elemento, multiplicarmos por três e subtraírmos um.
3×10-1=29
Como nós esperávamos, realmente se trocamos a regra,
e jogamos as entradas, nós teremos novas saídas.
Ao conjunto A da nossa entrada,
chamamos de domínio da função e denotamos da seguinte maneira:
D índice f,
ou seja,
O conjunto A é o domínio da nossa regra.
O conjunto B é chamado de contradomínio da função.
O único elemento b do conjunto B
associado ao elemento a do conjunto A
é denotado da seguinte maneira: f de a
isto é, o valor f(a)
é o valor que f associa à a,
um elemento do conjunto A.
Uma função f de domínio A e contradomínio B
é indicada da seguinte maneira:
f de A em B.
Onde a regra associa um valor a do conjunto A
a um valor f(a) no conjunto B.
O gráfico de f é um subconjunto
do conjunto de todos os pares ordenados (x,y)
de números reais.
O gráfico de f pode ser pensado como o lugar geométrico descrito
pelo ponto (x,f(x))
quando x percorre o domínio de f.
Da seguinte maneira:
Temos aqui o gráfico da função
nós temos aqui o ponto (x,f(x)).
Quando x percorre o domínio
o ponto (x,f(x))
descreve essa linha, que seria o gráfico da função.
É comum representar uma função simplesmente da seguinte maneira:
y=f(x)
onde x pertence ao conjunto domínio A.
neste caso dizemos que x é a variável independente
e y a variável dependente.
Vamos ver aqui um exemplo.
Se y é uma função de x
e a função, a regra, é
3x-1
vamos saber
o domínio da função,
f(2), isto é,
o valor que f assume em 2
f(4)
e f(-1),
e por último vamos saber o gráfico de f.
A função f existe para qualquer valor de x, ou seja,
o domínio da função
são todos os números reais.
Qualquer valor que você jogar na função
o f(x) vai assumir um valor real, então,
o domínio da nossa função são os números reais.
Para o item b.
Bom, o f(2)
é pegarmos o valor 2 e jogarmos na regra.
3×2-1=5
f(4)
3×4-1=11
E o f(-1)
3×(-1)-1=-4
E para o item d
vamos ver
qual é o gráfico
o item c
qual é o gráfico da nossa função.
Quando x é 2, a função associa o valor 5.
Então, nós temos aqui o ponto (2,5).
Quando x é 4, f associa o valor 11.
Temos aqui o ponto (4,11).
Quando x é -1, a função associa o valor -4.
(-1,-4).
Como a função existe para todos os número reais,
quando x percorrer o domínio, a função vai descrever a reta
cuja equação é y=3x-1.
Vamos para um segundo exemplo.
y=f(x), f(x)=√(x-5).
Queremos saber: o domínio da função,
o valor de f(14), f(21), f(30), f(41) e f(86),
e, por último, o gráfico de f.
Bom, como a função está definida nos números reais, isto é, f de R em R,
o domínio de f é o radicando maior ou igual a zero, isto é,
x-5≥0
Se x for menor que 5, o radicando será negativo,
e seu contradomínio será o conjunto dos números complexos,
isto não interessa para nós.
O domínio da função é x real, tal que, x-5≥0.
Vamos calcular o item b, f(14).
Bom, f(14) vai ser √(14-5),
√(14-5) = √9 = 3.
f(21)=√(21-5).
√16 = 4.
f(30)=√(30-5) = √25 = 5.
f(41)=√(41-5) = √36 = 6.
f(86)=√(86-5) = √81 = 9.
E vamos ver qual é o gráfico dessa nossa função.
Temos aqui o eixo-x, eixo-y.
Bom, quando x é 5, quando x for 5, √(5-5) = √0 = 0,
então, temos o ponto (5,0).
Bom, nós calculamos f(14), 14 está próximo aqui,
e sabemos que f(14)=3.
Aqui temos o ponto (14,3).
f(21), quando x for 21, f associa o valor 4.
Temos o ponto (21,4).
Quando x for 30, f associa o valor 5.
Temos aqui o ponto (30,5).
Quando x for 41, f associa o valor 6.
Temos aqui o ponto (41,6).
Quando x for 86, f associa o valor 9.
Temos aqui o ponto (86,9).
f só vai existir quando x for maior ou igual a 5, então,
quando x percorrer o domínio de f,
f vai descrever uma curva desse gênero aqui.