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UNIVERSO MECÂNICO
Força é igual a *** vezes aceleração.
Mecânica, a ciência do movimento,
pode ser resumida nessa equação: F=ma.
Ela é o coração da Mecânica Clássica.
AS LEIS DE NEWTON
Em 1543, Copérnico escreveu este pequeno livro,
e o mundo aristotélico começou a desmoronar.
Cento e ciquenta anos depois,
ainda estava em ruínas e não havia nada para ocupar seu lugar.
É claro que algum progresso foi feito.
Kepler descobriu suas três leis,
compreendeu-se a queda dos corpos,
assim como a Inércia,
mas não havia nenhum princípio unificador.
A perfeição sem fissuras do mundo aristotélico havia se convertido numa grande confusão.
E então, em um livro de tirar o fôlego,
Isaac Newton inventou a Física como a conheçemos hoje,
e restaurou a ordem aos céus e à Terra.
Ao tentar se descrever o mecanismo básico do mundo,
uma pergunta natural é:
Por onde começar?
Isaac Newton começou com três princípios fundamentais:
as Leis de Newton.
E com a incrível velocidade e elegância de um gênio livre
ele explicou o movimento de quase tudo sobre, e acima da superfície da Terra.
Em sua essência, as três leis de Newton são uma equação profundamente poderosa.
Força...
é igual a ***...
...vezes aceleração.
Entender essa equação,
o que ela significa e onde usá-la.
E no final,...
...é possível entender o universo mecânico.
Ao mesmo tempo,
entender essa considerável complexidade pode residir no que aparenta ser puro e simples.
Por exemplo,
uma olhada mais de perto em F=ma...
...revela imediatamente muitas complicações.
Primeiro,
F=ma é uma equação vetorial.
Tanto a força...
...quanto a aceleração...
...são vetores.
Em outras palavras, elas têm direções definidas.
Em F=ma, elas devem ter a mesma direção.
A segunda complicação surge no símbolo a, para aceleração.
Lembre-se: aceleração não é a posição de alguma coisa.
E não é a rapidez com que alguma coisa muda de posição.
Aceleração...
...é a rapidez com que alguma coisa se move mais rápido.
Então, a aceleração é a derivada de uma derivada.
E a equação simples de Isaac Newton, F=ma, é um equação vetorial...
...sobre a derivada de uma derivada.
Por exemplo,
quando um corpo, ou ***, cai...
a gravidade exerce uma força, F,...
...força vertical para baixo, é claro.
E o resultado é aceleração.
Então aí está, F=ma.
Aceleração e força na mesma direção.
Complicado e, ainda assim, bela em sua simplicidade,
esta é a bem conhecida equação.
Agora, no caso de um corpo em queda,
o que se sabe sobre a aceleração?
É constante, por um lado.
E, por outro lado,...
...é a mesma para todos os corpos em queda.
E mais,...
...se chama g.
A força da gravidade...
...sobre todo corpo em queda...
...é igual a sua ***...
...vezes a aceleração g, na direção descendente.
Mas essa equação também descreve movimento em outra direção além da vertical descendente.
A gravidade exerce a mesma força sobre um corpo, não importa qual a direção que o corpo viaje.
Uma vez que um objeto está em movimento,...
...desprezando-se a resistência do ar,...
...a gravidade é a única força atuando nele.
Seja jogado de uma torre,...
...disparado de uma montanha,...
...ou lançado a partir do ombro de um homem.
Todos os objetos em movimento caem, sob a influência da gravidade.
Uma equação que explica a trajetória de qualquer projétil na Terra...
...é realmente poderosa.
E para ver como ela realmente funciona,...
...é necessário voltar ao início.
Com sua primeira lei...
...Newton abraçou a idéia de Inércia.
Ele escreveu:
"Todo corpo continua em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme em uma linha reta,...
...a menos que seja compelido a mudar aquele estado por forças impressas a ele."
A Inércia foi uma idéia que Newton herdou...
...de Galileu.
Foi uma idéia extraordinária que, se ilustrada com imagens modernas,...
...é algo assim.
Uma vez que um corpo está em movimento,...
...ele naturalmente continua em linha reta, a menos que seja influenciado por alguma força.
A segunda lei de Newton indica exatamente como a força altera o movimento de um objeto.
Como o próprio Newton explicou,...
..."a alteração no movimento é proporcional à força impressa...
...e é feita na direção da linha reta ao longo da qual a força é impressa."
Newton usa a palavra "movimento" para "momentum",...
...a velocidade de um corpo multiplicada por sua ***.
Embora Newton tenha se expressado através da Geometria clássica, usando figuras geométricas...
...e razões entre quantidades,...
...ele sabia que suas leis podiam ser expressas como equações diferenciais.
A segunda lei de Newton diz que a força impressa é igual à taxa de variação do momentum.
Para um corpo com *** constante, essa equação diferencial se reduz a...
...força é igual a *** vezes aceleração.
F=ma.
Para cada ação...
...existe sempre uma reação igual.
Ou...
...as ações mútuas de dois corpos, um sobre o outro, são sempre iguais.
E dirigidas em sentidos opostos.
Esta é a terceira lei de Newton.
Nada pode tocar em algo...
...sem ser tocado de volta.
Em outras palavras,
corpos não apenas agem, eles interagem um com o outro.
Ao mesmo tempo, todas as três leis de Newton agem e interagem através do mundo físico.
E a trajetória de qualquer projétil, de maneira poderosa e emocionante,
demonstra as consequências das três leis de Newton.
Quando um objeto é arremessado...
...e move-se livremente,...
...qual a natureza de sua trajetória?
Não importa qual seja o projétil...
...e seu propósito,...
...poderiam todas as trajetórias serem essencialmente as mesmas?
O entendimento do curso de qualquer projétil...
...surge de um mergulho das leis que governam força e movimento.
Um jovem sujeito da antiguidade, a quem se atribui tal mergulho...
...e um conhecimento de primeira mão sobre projéteis...
...foi Davi,...
...que é lembrado por seu lendário confronto...
...com Golias.
Contra um adversário considerável,
o jovem Davi demonstrou a relação entre força e momentum.
Na verdade, Davi e Golias podem não ter sido tão desiguais como a lenda os descreve.
Afinal, é este o modelo de intelecto devastador?
Em qualquer caso, Davi conseguiu demonstrar a relação entre força e momentum com grande perícia.
E sem a ajuda de Aristóteles, muito menos de Newton.
E Golias entendeu.
Não apenas isso...
...ele em seguida obedeceu à lei da gravidade.
Outro fenômeno que já funcionava bem muito antes de ser entendido.
As leis de Newton não alteraram o modo como o mundo funciona.
Mas mudaram para sempre o modo como é entendido.
E seja num campo de batalha,...
...num campo de atletismo,...
...ou nos verdes campos da Inglaterra,...
...a trajetória de qualquer projétil...
...pode ser descrita no campo das matemáticas.
Nas palavras do próprio Newton:
"Então, dessas forças, eu deduzi os movimentos dos planetas, dos cometas, da Lua e do mar."
Newton não foi o primeiro a ponderar sobre o trajeto de um objeto em vôo na Terra...
...ou no céu.
Mas foi o único que compreendeu que as mesmas leis governam os trajetos dos dois.
Todavia, muito antes de Newton,
Galileu Galilei descreveu perfeitamente o movimento dos projéteis.
Ele compreendeu que corpos podem cair verticalmente e se mover horizontalmente ao mesmo tempo.
Do ponto de vista de Galileu, que abarcou tudo, desde o céu até os jardins paradisíacos da renascença,
o movimento do corpo tem duas componentes, completamente independentes uma da outra.
A extraordinária visão de Galileu...
...é explicada pela extraordinária equação de Isaac Newton.
A componente vertical do vetor força é mg, para baixo, ou -mg.
Nenhuma força age na direção horizontal.
Apenas a componente vertical da aceleração é -g.
Na direção horizontal, onde não há força, a aceleração é zero.
Aceleração é a taxa de variação da velocidade.
Já que a velocidade horizontal não está variando, ela deve ser constante.
Velocidade constante na direção horizontal...
...e aceleração constante para baixo.
Ambas agindo independentemente e simultaneamente.
Esses são os elementos das trajetórias de Galileu.
E também são o resultado da equação de Newton.
Força é igual a *** vezes aceleração.
F=ma.
Mas para entender o progressivo significado de F=ma,
é preciso voltar a um tempo antes de os estudiosos terem conseguido ajuda para tratar os fenômenos do mundo.
Na antiga Grécia...
...os estudiosos acreditavam que tudo na natureza chegava ao repouso.
Que chegar ao repouso era a natureza de todas as coisas em movimento.
De acordo com os aristotélicos...
...todos os objetos em movimento eram impulsionados por um agente.
Quando o agente não podia ser visto, como no caso do movimento de um projétil,
Aristóteles dizia que era o próprio ar o responsável pelo movimento.
Bem depois, embora os europeus da idade média mantivessem a visão aristotélica do mundo,
essa explicação não era inteiramente satisfatória.
Para explicar o movimento de projéteis, tais como lanças, flechas e balas de canhão,
os estudiosos chegaram à idéia do Impetus.
Lançar um projétil o carregava com uma quantidade finita de Impetus,
o que dava ao objeto seu movimento.
Quando seu Impetus era consumido,
o objeto subitamente caía ao chão.
O Impetus não era uma má idéia.
Mas não alcançava seu objetivo.
A idéia medieval do Impetus...
...batia de frente com o princípio de Inércia,
...que permaneceu desconhecido até o Renascimento,
quando a trajetória parabólica foi descoberta...
...por Galileu.
Nas palavras de Galileu:
"É bem observado que as balas e projéteis descrevem uma trajetória curva de algum tipo.
Contudo, ninguém apontou para o fato de que esta trajetória...
...é uma parábola."
Com essa visão, Galileu viveria para ver os 2000 anos de reinado da visão aristotélica...
...chegar ao fim.
E ele não estava sozinho.
Mais ou menos na mesma época,...
...Johannes Kepler...
...Christian Huygens, na Holanda,...
...e Renée Descartes, na França e outros,
também começaram a ver o universo com novos olhos.
Por mais extraordinária que fosse essa coleção de cientistas,
seus pontos de vista individuais passaram por cima de algo,
uma síntese,
um princípio organizador...
...do mundo físico como um todo.
Seriam necessárias circunstâncias extraordinárias para explicar o mundo.
Seria necessário a pessoa certa, no lugar certo...
...no momento certo.
O momento certo era 1665...
...e a pessoa certa...
...era Isaac Newton.
Com apenas 23 anos de idade,...
...Newton concebeu as descobertas que alterariam para sempre a compreensão de todos sobre o universo.
Com apenas três leis fundamentais, Newton deu ao movimento uma causa...
...e ao fazer isso, seu princípio dinâmico...
...completou a descrição matemática do movimento feita por Galileu.
Em outras palavras, enquanto a Cinemática de Galileu descreve o movimento,...
...a Dinâmica de Newton o explica.
Mas as leis de Newton também explicam como um corpo se move.
Combinando seu Cálculo com sua Mecânica, o movimento de um objeto pode ser descrito perfeitamente.
O Movimento de um projétil tem uma aceleração igual a -g na direção vertical...
...e uma velocidade constante na direção horizontal.
E qual é o significado dessa constante?
A força por trás da propulsão deste objeto...
...vem da giro do torso do atleta.
Esta força dura apenas um instante e determina a velocidade inicial do lançamento.
Quando o objeto deixa a mão, ele tem uma componente da velocidade na direção x...
...que é o valor constante que tem a velocidade horizontal.
E continuará a ter ao longo de seu trajeto, até que atinja o chão.
Contudo, a componente vertical da velocidade está mudando...
...a uma taxa igual a -g.
A derivada da velocidade vertical, com relação ao tempo, é -g...
...não zero.
Que função tem derivada -g?
Uma resposta é -gt.
Mas, -gt mais uma constante qualquer também é uma resposta,...
...já que a derivada de uma constante é zero.
Qual o significado da constante?
É a velocidade vertical com a qual o objeto inicia.
Mesmo se começa com um disparo.
Imaginemos, por um momento, que não haja gravidade.
Então, qualquer projétil seguiria uma trajetória retilínea...
...com as velocidades horizontal e vertical com as quais começou.
Mas a gravidade encurva a trajetória de um projétil...
...e o faz da maneira como está descrito na lei da queda dos corpos, de Galileu.
O que realmente acontece é que o projétil continuamente cai abaixo de seu trajeto retilínio imaginário...
...a uma taxa igual a 1/2 de g vezes t ao quadrado.
Assim como se tivesse sido abandonado do repouso.
Todas essas idéias de Galileu...
...são as consequências simples e diretas...
...de uma lei concisa de Isaac Newton,...
...resumida na equação:
F=ma.
"Saúde!"
Eu tenho outra história de Davi e Golias pra vocês.
Naturalmente eu sou Davi...
...e ele Golias, pendurado numa árvore.
Mas desta vez...
..em vez de uma funda, eu vou acertá-lo com um projétil sofisticado.
Este aqui.
Só há um problema.
Eu sei que, no momento que eu puxar o gatilho,
ele vai se assustar e cair da árvore em que está.
Então ele estará caindo, e a pergunta é:
Onde devo mirar, para atingi-lo enquanto ele cai? Quanto eu devo deixar que ele caia para acertá-lo?
Bem, eu encontrarei a resposta da maneira que todo grande caçador faria.
Vou escrever as equações do movimento de projéteis.
O que precisamos saber é z e x...
...mas o que sabemos é que...
dz/dt - porque isto é a componente z de v -
é igual a -gt mais o valor inicial da componente z de v.
E...
...dx/dt - porque isto é a componente x de v -
é igual ao valor inicial da componente x de v.
...menos 1/2 de g vezes t ao quadrado.
Agora, sem o efeito da gravidade, estas seriam as equações de uma linha reta.
Seria uma linha reta diretamente do cano da arma...
...ao ponto em que ela está mirando.
O efeito da gravidade...
...é fazer o projétil cair abaixo dessa linha...
...por uma quantidade igual a 1/2 de g vezes t ao quadrado.
Então a trajetória real parece com isso.
Mas essa é exatamente a mesma distância que o macaco cairá,
desde que a arma esteja apontada para o macaco inicialmente.
Ele cairá exatamente os mesmos 1/2 de g vezes t ao quadrado...
...e encontrar o projétil em pleno ar,
que é o que queremos descobrir, a solução do problema.
Você tem que apontar a arma diretamente para o macaco.
E é isso que eu vou fazer.
Agora eu vou atirar naquele macaco.
Deve haver alguém querendo me perguntar porque eu vou atirar no macaco.
Não pergunte.
Isso não é um curso de Ética, é um curso de Física.
Aqui vocês podem ver que o feixe de laser...
...passa pelos dois pontos de mira da arma, neste ponto...
...e neste outro ponto,...
e atinge o macaco.
Assim, a arma está apontada diretamente para o macaco.
Agora eu vou carregar meu disparador aqui...
...e agora estamos prontos para atirar nele.
Certo, eu tenho que dizer a vocês...
...que eu pratiquei essa demonstração muitas e muitas vezes...
...e em todas as centenas de vezes que eu fiz essa demonstração eu nunca acertei esse macaco uma vez sequer...
...e é por isso que ele continua sendo voluntário.
Muito bem, vamos fazer isso agora, todo mundo pronto?
Aqui vamos nós.
Pegamos ele!
Deve ser a primeira vez que um macaco é abatido por uma equação.
Mas que equação é essa?
Se você perguntasse a qualquer físico na rua qual a equação mais importante em toda a Física...
...essa seria provavelmente a resposta.
F=ma.
Ainda assim, existe algo de muito misterioso nessa equação.
Ela contém essas três quantidades: força, *** e aceleração.
Agora nós entendemos bem o que significa aceleração.
Mas o que é exatamente a força?
E, a propósito, o que entendemos por ***?
Uma maneira de descobrir é usar essa equação para nos dizer.
Isso foi o que fizemos hoje no caso da gravidade.
Não descobrimos a natureza da gravidade, ou porque atua do jeito que atua,
mas usamos essa equação para nos dizer a força atuando em um corpo.
Ela não nos disse nada sobre como a gravidade funciona.
Se conheçemos a *** do corpo e observamos sua aceleração, podemos achar a força atuando nela.
Mas, sem essa equação nós não sabemos a *** do corpo.
E sem sabermos a *** do corpo, a equação não significa nada.
Será possível que a mais importante equação em toda a Física seja um absurdo lógico sem sentido?
Eu não estou apenas brincando com as palavras,
esse é um problema que os filósofos debateram por mais de trezentos anos.
Ainda assim, uma coisa está muito clara.
Antes de Isaac Newton ter escrito essa equação, o mundo era um mundo cheio de confusão.
E depois que ele a escreveu, o mundo se tornou ordenadamente...
...compreensível...
...e previsível.
Então, o que quer que seja essa equação,
certamente não é algo sem sentido.
A única maneira de entender o que é essa equação é usando-a.
E é disso que trata o resto da nossa estória.
Força é igual a *** vezes aceleração.
Mecânica, a ciência do movimento, pode ser resumida nessa única equação:
F=ma.