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Aprendemos sobre soma, subtração e
multiplicação de matriz.
Então você deve estar pensando, existe
o equivalente à divisão de matriz?
E antes de começarmos, deixe-me apresentar
alguns conceitos a você.
E então veremos que há alguma coisa que talvez não seja
exatamente a divisão, mas é análogo a isso.
Então antes de começarmos, irei apresentar a você
o conceito de identidade de matriz.
Então uma identidade de matriz é uma matriz.
E irei denotar isto pela letra maiúscula I.
Quando eu multiplico isto vezes uma outra matriz-- na verdade eu
não sei se devo escrever este ponto aqui-- mas de qualquer forma,
quando eu multiplico vezes uma outra matriz, eu
obtenho aquela outra matriz.
Ou quando eu multiplico esta matriz vezes a matriz de identidade eu
obtenho a matriz novamente.
E é importante perceber que quando estamos fazendo
a multiplicação de matrizes, que a direção importa.
Eu te dei alguma informação aqui que-- nós
não podemos assumir quando estamos fazendo multiplicação normalmente
que, a vezes b é sempre igual a b vezes a.
É importante quando estamos fazendo a matriz de multiplicação,
para confirmar que isto interfere na direção que você faz a
multiplicação.
somente se estivermos
lidando com matrizes quadradas.
Pode funcionar em uma direção ou outra se esta matriz for
não-quadrada, mas não irá funcionar em ambas.
E você pode pensar sobre isto apenas em termos de
como aprendemos a multiplicação da matriz, porque isto acontece.
Mas de qualquer forma, eu já defini esta matriz.
Agora como esta matriz se parece?
Na verdade é bastante simples.
Se tivermos uma matriz dois por dois, a identidade da matriz é um, zero, zero, um.
Se você quiser três por três, é um, zero, zero, zero, um, zero, zero, zero, um.
Eu acho que você vê o modelo.
Se você quiser um quatro por quatro, a identidade da matriz é um, zero, zero, zero
zero, um, zero, zero, zero, zero, um, zero, zero, zero, zero, um.
Então você pode ver quanto é toda aquela matriz, para uma dada
dimensão-- quero dizer que podemos estender isto pela matriz an n por n--
é que você tem apenas um junto com estas diagonais à esquerda de cima a baixo.
à direita.
E tudo mais é zero.
Então eu te contei isto.
Vamos provar que isto funciona de verdade.
Vamos fazer esta matriz e multiplicar
vezes uma outra matriz.
E confirme que esta matriz não muda.
Então se pegarmos um, zero, zero, um.
Vamos multiplicar isto vezes-- vamos fazer uma matriz geral.
Apenas para você ver que isto funciona para todos os números.
a, b, c, d.
Então isto é igual a quanto?
Vamos multiplicar esta linha vezes esta coluna.
Uma vez a mais zero vezes c é a.
E esta linha vezes esta coluna.
Uma vez b mais zero vezes d. Uma vez b mais zero vezes d.
É b.
Então esta linha vezes esta coluna.
0 times a plus 1 times c is c. Zero vezes a mais um vezes c é c.
Então finalmente, esta linha vezes esta coluna.
zero vezes b mais um vezes d.
Bom, é d.
Aí está.
E pode ser um exercício divertido tentar isto
de outra forma.
E na verdade é um exercício até melhor tentar isto
com um três por três.
E você vai ver como tudo isto funciona para você.
E um bom exercício para você é pensar sobre como isto funciona.
E se você pensar nisto, é porque está obtendo
sua informação de linha daqui e sua informação de coluna
daqui.
E essencialmente, a qualquer momento, você está multiplicando, vamos dizer
este vetor vezes este vetor, você está multiplicando os
termos correspondentes e então somando, certo?
Então se você tiver um um e um zero, o zero irá cancelar
qualquer coisa exceto o primeiro termo neste vetor de coluna.
Então é por isso que sobra a.
E é por isso que tudo irá ser cancelado menos o
primeiro termo neste vetor de coluna.
E é por isso que sobra o b.
E da mesma forma, isto irá cancelar tudo menos o
segundo termo. 90 00:03:54,020 --> 00:03:56,250 É por isso que sobra apenas um c ali.
Isto vezes isto.
Sobra o c.
Isto vezes isto.
Sobra o d.
E aquela mesma coisa se aplica quando você vai
para três por três ou n por n vetores.
Então é interessante.
Você tem o vetor de identidade.
Agora se você quisesse completar nossa analogia-- então
vamos pensar sobre isto.
Sabemos em matemática regular que se eu tiver uma vez
A, eu tenho a.
E também sabemos que um sobre a vezes a-- isto é apenas
matemática regular, não tem nada a ver com matrizes-- é igual a um.
E você sabe, chamamos isto de inverso de a.
E é também a mesma coisa que dividir pelo número a.
Então existe uma analogia de matriz?
Deixe-me trocar as cores, porque usei muito este verde.
bit too much.
Há uma matriz, onde se eu tiver a matriz a, e
multiplico isto por esta matriz-- vou chamar isto de inverso
de a-- existe uma matriz onde sobra, não o número
um, mas sobra com um equivalente
no mundo da matriz?
Onde sobra a matriz de identidade?
Seria muito legal se eu pudesse na verdade trocar esta
multiplicação por aí.
Então o inverso de A vezes A deve ser igual
a identidade da matriz.
E se você pensar sobre isto, se ambas estas coisas forem verdades,
então na verdade não é A apenas mas o inverso do inverso de A, mas
A é também o inverso do inverso de A.
Então eles são o inverso um do outro.
É tudo o que queria dizer.
E acaba virando uma matriz.
É chamado de inverso de A, como eu já
disse umas três vezes.
E vou te mostrar agora como calcular isto.
Então vamos fazer isto.
E vamos ver calculando isto que um dois por dois é bem
simples.
No entanto você deve pensar que é um pouco misterioso como
as pessoas fizeram a mecânica disto, ou
o algorítimo para isto.
Três por três fca um pouco difícil.
Quatro por quatro irá tomar todo seu dia.
Cinco por cinco você está cometendo um erro por descuido
se você fizer o inverso de uma matriz cinco por cinco.
E é melhor à esquerda do computador.
Mas de qualquer forma, como calcular a matriz?
Então vamos fazer isto, e então vamos confirmar que isto é realmente
o inverso.
Então se eu tiver uma matriz A, e isto é a, b, c, d.
E eu quero calcular seu inverso.
Seu inverso é na verdade-- e isto irá
se parecer com um voodoo.
Em vídeos futuros, vou despertar em você um pouco mais
de intuição sobre o porquê isto funciona, ou mostrar como
isto surgiu.
Mas agora é melhor apenas memorizar os passos,
apenas para ter a confiança de que você sabe que
pode calcular um inverso.
É igual a um sobre este número vezes isto. A vezes d
menos b vezes c.
ad menos bc.
E esta quantidade aqui, ad menos bc, é chamada de
determinante da matriz A.
E vamos multiplicar isto.
Isto é apenas um número.
Isto é apenas uma quantidade escalar.
E vamos multiplicar isto por-- você troca
o a e o d.
Você troca o topo à esquerda e a direita embaixo.
Então sobre a você d e a.
E você faz estes dois, você faz o debaixo à esquerda e o
da direita encima, você os torna negativos.
Então menos c menos b.
E o determinante-- mais uma vez, isto é alguma coisa que
você vai ter que ter fé agora.
Em vídeos futuros, eu prometo te dar maior instrução.
Mas na verdade é um pouco avançado aprender qual
é o determinante.
E se você estiver fazendo isto na sua aula do ensino médio, você
tem que saber calcular isto.
Mas eu não gosto de ter que dizer isto.
Então quanto é?
Isto também é chamado de determinante de A.
Então você pode ver um exame, descobrir o
determinante de A.
Então deixe-me te dizer isto.
E é denotado por A nos sinais de valores absolutos.
E isto é igual a ad menos bc.
Então uma outra forma de dizer isto, poderia ser um sobre o
determinante.
Então você pode escrever o inverso de A igual a um sobre o
determinante de A vezes d menos b menos c, a.
De qualquer forma você olha para isto.
Mas vamos aplicar isto ao problema real, e você verá
que na verdade não é tão ruim.
Então vamos trocar as letras, só para você saber que nem sempre
tem que ser um A.
Vamos dizer que eu tenha uma matriz B.
E a matriz B é três-- e eu vou apenas pegar
números aleatórios-- menos quatro, dois menos cinco.
Vamos calcular o inverso de B.
Então o inverso de B será igual a um sobre o
determinante de B.
Qual é o determinante?
É três vezes menos cinco menos dois vezes menos quatro.
Então três vezes menos cinco é menos quinze, menos dois vezes menos quatro.
Duas vezes menos quatro é menos oito.
Vamos subtrair isto.
Então é mais oito.
E vamos multiplicar isto vezes quanto?
Bom, trocamos estes dois termos. Então é menos cinco e três.
E acabamos de fazer estes dois termos.
Menos dois e quatro.
Quatro era menos quatro, então agora se torna quatro.
E vamos ver se podemos simplificar isto um pouco.
Então inverso de B é igual a menos quinze mais oito.
É menos sete.
Então isto é menos um sétimo.
Então o determinante de B-- nós podemos escrever que o determinante de B--
é igual a menos sete.
De forma que isso é menos um sétimo vezes menos cinco, quatro, menos dois, três.
Que é igual a-- isto é um escalar, isto é apenas um
número, então multiplicamos isto vezes cada um dos elementos--
então é igual a menos, menos, mais.
É cinco sétimos.
Cinco sétimos menos quatro sétimos.
Vamos ver.
Dois sétimos positivo.
A então menos três sétimos.
É um tanto difícil.
Acabamos com frações aqui.
Mas vamos confirmar que isto é mesmo o inverso
da matriz B.
Vamos multiplicar.
Então antes de fazer aquilo, eu tenho que abrir alguma espaço.
Eu nem preciso mais disto.
Aí está.
Ok.
Então vamos confirmar que isto vezes isto, ou isto vezes
aquilo, é igual a matriz de identidade.
Então vamos fazer isto.
Então deixe-me trocar as cores.
Então o inverso de B é cinco sétimos, se eu não tiver cometido
nenhum erro.
Menos quatro sétimos.
Dois sétimos.
E menos três sétimos.
É o inverso de B.
E deixe-me multiplicar isto por B.
Três menos quatro.
Dois menos cinco.
E isto será a matriz do produto.
Preciso de algum espaço para fazer meus cálculos.
Deixe-me trocar as cores.
Vou pegar esta linha vezes esta coluna.
Então cinco sétimos vezes três é quanto?
Quinze sétimos.
Mais menos quatro sétimos vezes dois.
Então menos quatro sétimos vezes dois é menos-- deixe-me garantir
que está certo-- cinco vezes três é quinze sétimos.
Menos quatro-- ah, certo, certo-- quatro vezes dois, então menos oito sétimos.
Agora vamos multiplicar esta linha vezes esta coluna.
Então cinco vezes menos quatro é menos vinte sétimos.
Mais menos quatro sétimos vezes menos cinco.
É mais vinte sétimos.
Meu cérebro está começando a ficar lento, tendo que fazer as
multiplicações de matrizes com frações de número negativos.
Mas este é um bom exercício para partes
múltiplas do cérebro.
Mas mesmo assim.
Então vamos fazer este termo.
Então agora vamos multiplicar esta linha vezes esta coluna.
Então dois sétimos vezes três é seis sétimos.
Mais menos três sétimos vezes dois.
Então é menos seis sétimos.
Um termo à esquerda.
Direto ao ponto.
Dois sétimos vezes menos quatro é menos oito sétimos.
Mais menos três sétimos vezes menos cinco.
Então aqueles negativos são cancelados, e nos sobra mais quinze sétimos.
E se simplificarmos, quanto obteremos?
Quinze sétimos menos oito oitavos é sete sétimos.
Bom, é apenas um.
Isto é zero, claramente.
Isto é zero.
Seis sétimos menos seis sétimos é zero.
E então menos oito sétimos mais quinze sétimos, é sete sétimos.
É um novamente.
E aí você tem.
Na verdade fizemos para inverter esta matriz.
E na verdade foi mais difícil provar que era o inverso
pela multiplicação, apenas porque tivemos que fazer toda esta fração
e a matemática do número negativo.
Mas espero que isso tenha te deixado satisfeito. 297 00:13:56,610 --> 00:13:59,430 E você poderia tentar isto de outra maneira para confirmar que se
você multiplicar isto da outra forma, você também teria
a matriz de identidade.
Mas de qualquer forma, isto é como você calcula o
inverso de dois por dois.
e como vamos ver no próximo vídeo, calculando o
inverso da matriz três por três é ainda mais divertido.
Até logo.