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Um jogo de cartas usando 36 cartas únicas, quatro naipes, ouros,
copas, paus e espadas -- isso precisa ser espadas, não
espaços [um trocadilho em inglês] -- com cartas numeradas de 1 a nove em cada naipe.
Uma mão é escolhida.
Uma mão é uma coleção de 9 cartas, que podem ser arranjadas
da maneira que o jogador decidir.
Muito bem.
Quantas mãos de 9 cartas são possíveis?
Vamos pensar sobre isso.
Existem 36 cartas únicas -- e eu não irei me preocupar com isso,
você sabe, existem nove números em cada naipe, e existem 4
naipes, 4 vezes 9 são 36.
MAs vamos pensar nas cartas como sendo 1 a 36
e iremos pegar nove delas.
Então primeiramente, vamos dizer, muito bem, nós temos nove
casas na minha mão, correto?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Correto?
Eu estou pegando nove cartas para compor a minha mão.
Então para a primeira delas, quantas cartas possíveis
eu poderia pegar?
Bom, existem 36 cartas únicas, então para esta primeira asa,
existem 36.
Mas então agora ela é parte da minha mão.
Agora para a segunda casa, quantas sobraram no monte
para eu pegar?
Bem, nós já pegamos uma, então haverão apenas
35 para poderem ser pegas.
E então para a terceira casa, 34, e então
isso apenas vai continuando.
Depois 33 para serem pegas, 32, 31, 30, 29 e 28.
Então você poderia dizer que existem 36 vezes 35, vezes
34, vezes 33, vezes 32, vezes 31, vezes 30, vezes 29, vezes
29 mãos possíveis.
Bom, isso seria verdadeiro se a ordem importasse.
Isso seria verdade se eu tivesse a carta 15 aqui.
Talvez eu tivesse -- deixe-me colocar isso aqui -- talvez eu tivesse um 9
de espadas aqui, e então eu tivesse um bocado de cartas
E talvez eu tenha -- e isso é uma mão.
E então eu tenho outra.
Então eu tenho as cartas um, dois, três, quatro,
cinco, seis, sete, oito.
Eu tenho oito outras cartas.
Ou talvez outra mão seria se eu tivesse as oito cartas, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 7, e então eu tenho o nove de espadas.
Se nós tivermos que pensar nisto como duas mãos diferentes,
uma vez que nós temos exatamente as mesmas cartas, mas as temos
em uma ordem diferente, então o que eu já calculei faria um
sentido enorme, porque nós o fizemos baseado na ordem.
Mas eles estão nos dizendo que as cartas podem ser ordenadas
da maneira que os jogadores escolherem, então isso não importa.
Então estamos contando a mais.
Nós estamos contando todas as diferentes maneiras que o mesmo
número de cartas podem ser organizadas.
Então a fim de não contar a mais, nós teremos que dividir
isso pelas maneiras nas quais nove cartas podem ser reorganizadas.
Então nós temos que dividir isso pelo modo como nove cartas podem
ser reorganizadas.
De quantas maneiras nove cartas podem ser reorganizadas?
Se eu tenho nove cartas e eu estou a pegar uma das nove para ficar na
minha primeira casa, be, isso significa que eu tenho 9 maneiras de
colocar alguma coisa na minha primeira casa.
Então na segunda casa, eu tenho 8 maneiras de colocar uma carta
na segunda casa, porque eu já peguei uma para colocar na
primeira, então eu tenho 8 restantes.
Então 7, depois 6, depois 5, depois 4, depois 3, depois 2, depois 1.
Nesta última casa, haverá apenas 1 carta
restante para colocar nela.
Então este número aqui, quando você tem 9 vezes 8,
vezes 7, vezes 6, vezes 5, vezes 4, vezes 3, vezes 2,
vezes 1, ou 9 -- você começa com 9 e então você o multiplica por
qualquer número menor que 9.
Qualquer, eu gostaria de dizer, número natural menor que 9.
Isso é chamado fatoral de 9, e nós podemos expressar isso com
o sinal de exclamação.
Então se quisermos pensa sobre todas as diferentes manerias nas
quais nós podemos ter todas as diferentes combinações para
mãos, este é o número de mão que nós temos se nos importarmos com
a ordem, mas se você quiser dividir pelo número de maneiras
que podemos organizar as coisas então não iremos contar a mais.
E esta será uma resposta e esta
será a resposta correta.
Bom isso é um número super, super hiper mega grande.
Vamos calcular quão grande este número será.
Nós temos 36 -- vamos rolar um pouco para a esquerda -- 36
vezes 35, vezes 34, vezes 33, vezes 32, vezes 31, vezes 30,
vezes 29, vezes 28, dividido por 9.
Bem eu posso fazer desta maneira.
Eu posso colocar um parênteses -- dividido por parênteses, 9
vezes 8, vezes 7, vezes 6, vezes 5, vezes 4, vezes 3,
vezes 2, vezes 1.
Agora, espero que a minha calculadora possa calcular isso.
E ela me deu este resultado, 94.143.280.
Deixe-me colocar isso ao lado, então eu poderei ler isso.
Então este número aqui é 94.143.280.
E isso resolve este problema.
De que existem 94.143.280 possíveis mãos de 9 cartas
nesta situação.
Agora, nós apenas trabalhamos em cima disso.
Nós raciocinamos à medida que fomos resolvendo isso.
Existe uma fórmula para isso que faz essencialmente
exatamente a mesma coisa.
E a maneira como as pessoas denotam esta fórmula é assim dizendo, veja
nós temos 36 coisas e nós estamos para pegar 9 delas.
Correto?
E não nos importa a ordem, então em alguns momentos isso poderá
ser escrito com n combinado k a k.
Deixe-me escrever desta maneira.
E o que nós fizemos aqui?
Nós temos 36 coisas.
E escolhemos 9.
Então este numerador aqui, isto será 36 fatorial.
Mas 36 fatorial irá descendo para 27, 26, 25.
Ele simplesmente irá continuar a descer.
Mas nós precisamos para apenas nove casas de 36.
Então isso são 36 fatorial, mais esta parte aqui, esta parte
logo ali, isso não é apenas 36 fatorial.
isto são 36 fatorial dididido por 36 menos 9, fatorial.
O que são 36 menos 9?
São 27.
Então 27 fatorial -- vamos pensar sobre isso -- 36
fatorial, isso serão 36 vezes 35, você irá continuar por todo
sempre, vezes 28, vezes 27, indo por todo o caminho até 1.
Isto são 36 fatorial.
Agora o que são 36 menos 9
fatorial, isto são 27 fatorial.
Então se você dividir por 27 fatorial, 27 fatorial são 27
vezes 26, todo o caminho até 1.
Bom, isto e isto são exatamente a mesma coisa.
Isto são 27 vezes 26, então isso e isso se cancelam.
Então se você fizer 36 dividido por 36, menos 9 fatorial, você apenas
pega o primeiro, os maiores nove termos de 36 fatorial,
que é exatamento o que nós temos aqui.
Então isso é isso.
E então nós o dividimos por 9 fatorial.
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E isso aqui é chamado de 36 combinados 9 a 9.
E algumas vezes você verá esta fórmula aqui, algo assim
n combinado k a k.
E eles irão escrever a fórmula como sendo igual a n fatorial sobre n
menos k fatorial, e também no denominador, k fatorial.
E esta é uma fórmula geral para se você tiver n coisas e
quiser encontrar todas as maneiras possíveis nas quais
você pode pegar k coisas destas n, e que você não
se importa sobre a ordem.
Tudo o que você se importa é quais as k coisas que você pegou, você
não se importa sobre a ordem em que foram pegas estas k coisas.
Então é isso que nós fizemos aqui.