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O sonho da vida de Bruno é abrir uma franquia de Doughnuts.
Todos os dias Bruno vai à sua loja de doughnuts favorita
e fica se perguntando se vale a pena abrir esse negócio.
Então, Bruno começa a se fazer perguntas do tipo:
- "Qual será a taxa de chegada de fregueses nessa loja?"
- "Quanto é que eles devem vender por dia?"
- "Sei que tenho frequentado durante muitos meses essa loja
e percebido que em média encontro 3 pessoas na fila
e demoro 3 minutos entre entrar e sair da loja."
Cada pessoa que entra na loja ve o tamanho da fila variar
e leva um certo tempo para chegar ao início da fila e ser atendido.
Estas quantidades costumam variar,
e por esta razão, as chamamos de variáveis aleatórias.
As quantidades observadas por Bruno
representam médias destas duas variáveis aleatórias.
Que indicamos por:
N(barra) : a quantidade média de clientes dentro da loja,
e T(barra) : o tempo médio de atendimento.
- "Mas ainda quero saber a taxa de chegada de clientes!"
É agora que o resultado de Little vem ao seu socorro!
Ele afirma que o número médio de clientes em nosso sistema (a loja)
é igual ao produto da taxa média de chegada de clientes
pelo tempo médio de permanência destes clientes dentro do sistema.
Ou seja, chega 1 cliente por minuto à loja.
Para entender porque isto acontece
vamos olhar para os gráficos que descrevem
o trânsito de clientes para dentro e fora da loja
e refletir sobre as áreas que eles representam.
Este gráfico representa, ao longo do eixo vertical,
o número de clientes dentro da loja ao longo do tempo,
que é representado no eixo horizontal.
Repare que o cliente que está em baixo
é o que está sendo atendido neste momento.
Este gráfico representa apenas um retrato da loja
dentro de uma janela de tempo t.
Durante esta janela de tempo
o número de clientes muda o tempo todo,
clientes entram e clientes saem.
Mas reparem que se reoganizarmos o gráfico dessa forma,
a área, que designamos por A, permanece a mesma
e a janela de tempo também.
A razão entre a área total e a janela,
ambas constantes,
tem que ser uma constante também
e corresponde a N(barra),
o número médio de clientes dentro da loja
durante esta janela.
Vamos voltar ao nosso gráfico original.
Podemos trocar os eixos
para representar o tempo individual de cada cliente,
que inclui o tempo durante o qual ele é atendido e,
possivelmente, o tempo de sua espera na fila.
A linha vermelha indica
o tempo médio dos usuários no sistema.
Uma forma de visualizar esse tempo
é através do seguinte procedimento:
Justapondo todos estes retângulos
obtemos a soma de todo o tempo passado por cada cliente dentro da loja.
A área ainda é a mesma
e se a dividirmos por n,
o número total de clientes
que entrou na loja durante este intervalo,
teremos uma nova constante T(barra),
que corresponde ao tempo médio de permanência por cliente.
Comparando as duas equações que deduzimos,
obtemos uma terceira
Onde n representa o número de clientes que chegaram ao sistema
em uma janela de tempo t.
Dividindo essa quantidade pelo comprimento da janela
obtemos um valor que expressa a quantidade de clientes
que chega por unidade de tempo.
Isso não significa
que eles chegaram com essa taxa constante ao longo da janela.
Porém essa é a taxa média de chegada de clientes.
E a chamaremos de lambda.
Todas estas equações
dizem respeito ao que acontece dentro da janela t.
Mas se tornarmos a janela t cada vez maior,
teremos as equações que descrevem
o que acontece dentro de uma semana,
um mês,
um ano,
ou durante toda a eternidade.
O Resultado de Little é bem genérico,
e pode ser aplicado sem restrições
quanto à distribuição
do tempo entre as chegadas dos clientes,
à distribuição do tempo de serviço dos clientes,
e à política de atendimento dos mesmos.
Daí sua importância.
Tal generalidade possibilitou sua ampla utilização
e fez deste um dos pilares da Teoria de Filas.