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No ultimo video, nós achamos a série de MacLauren de e^x, e vimos que parecia com algum tipo de
combinação da aproximação polinomial de cos(x) e de sen(x), não exatamente, por que tinha
alguns negativos lá, se nós realmente fossemos adicionar os dois, nós não teriamos,
a representação de e^x. Mas para conciliar as duas coisas, eu vou usar, não sei se podemos chamar
disso, um truque. Vamos ver, se nós tomarmos essa série polinomial de e^x, essa aproximação, o que acontece,
e se dissermos que e^x é igual a isso, especialmente quando isso se torna um número infinito de termos, isso se torna menos um aproximação
e mais uma equalidade. O que acontece se tomarmos e^(ix)? E antes isso poderia ser uma coisa uma coisa estranha de se
fazer. Deixe-me escrever: e^(ix). Porque antes, era como, como você define e elevado a potência i, isso seria
uma coisa muito bizarra de se fazer, elevar alguma coisa a potência ix, como compreender um tipo
de função como essa? Mas agora que podemos ter uma série polinomial, nós talvez possamos fazer
algum sentido disso, porque podemos elevar i a diferentes potências, e sabemos no que resulta, por exemplo
i^2=-1, i^3=-i, e assim vai. Então o que acontece quando voce tem e^(ix)? Então, de novo, é como se
tirassemos o x daqui, e trocassemos por ix. Então em todo lugar que temos x, na aproximação
polinomial, nós escrevemos ix. Então vamos fazer isso. Então e^(ix) deve ser aproximadamente, e vai se tornar
mais e mais igual. E isso é mais uma intuição, eu não estou fazendo uma prova rigorosa aqui. Mas ainda assim é
profunda... Sem querer exagerar, mas eu não acho que eu posso exagerar o que esta para ser descoberto nesse
video. Isso seria igual a 1+, em vez de um x, nós teremos um ix, +ix+, então o que é
(ix)^2? Então vai ser, deixe-me escrever isso, o que é (ix)^2/2!? Bom, i^2 vai ser -1 e
você teria (x^2)/2!. Então vai ser -(x^2)/2!, e, eu acho que você talvez ja esteja vendo onde isso vai dar. E então,
o que ix, lembre-se, todo lugar que nós vemos um x, nós vamos trocar por ix. Então o que (ix)^3? Alias,
deixe-me escrever isso aqui, irei não pular alguns passos aqui. Então isso aqui vai ser ((ix)^2)/2!. Alias,
deixe-me... Eu vou fazer isso aqui do jeito... Então, +((ix^2))/2!+((ix)^3)/3!+((ix)^4)/4!+((ix)^5)/5! e nós podemos continuar
e assim vai. Mas vamos avaliar esses 'ix' elevados a diferentes potências. Então isso vai ser igual a 1+ix...
(ix)^2, isso é a mesma coisa que (i^2)(x^2), i^2 é -1. Então isso é -(x^2)/2!. E então isso vai ser a mesma
coisa que (i^3)(x^3), i^3 é a mesma coisa que (i^2)i, entao vai ser -i, então vai ser -i, então vai ser -i(x~3)/3!. E então,
então temos +, você terá, o que é i^4? então isso é (i^2)^2, entãp isso é (-1)^2, isso vai ser apenas 1, então i^4
é 1 e voce vai ter x^4, então +(x^4)/4!. E então voce vai ter +, eu não vou nem escrever o +
ainda, i^5, então i^5 será 1i, então vai fser i(x^5)/5!, então +(x^5)/5!, e eu acho que voce já vê o
padrão aqui. Os coeficientes são 1, i, -1, -i, 1, i e então -1(x^6)/6!, e então -i(x^7)/7!. Então nós teremos alguns termos, alguns deles
são imaginários, eles tem um i, eles estão sendo multiplicados por i, alguns deles são reais, por que nós não separamos
eles? Por que nós não separamos eles? Então, novamente, e^(ix) vai ser igual a essa coisa aqui, especialmente
conforme nós adicionamos um número infinitos de termos. Então vamos separa-los, os termos reais e os não reais, ou, os termos reais e os
imaginários, quero dizer. Então esse é real, esse é real, esse é real, esse é real e esse aqui é real. And nós
podemos continuar fazendo isso. Então os termos reais são 1-(x^2)/2!+(x^4)/4!, e você deve estar ficando animado
agora, -(x^6)/6!, e isso é tudo o que eu fiz aqui, mas poderíamos continuar, então +, e assim vai. Então isso aqui são todos os
termos reais. E quais são os termos imaginários aqui? Então deixe-me apenas, eu vou apenas fatorar esse i aqui. Então vai
ficar +i vezes, bom, esse aqui é ix, então isso vai ser x, e então o próximo... então esse é um termo imaginário, esse é um
termo imaginário, nós estamos fatorando o i, então -(x^3)/3!, então o próximo termo imaginário esta aqui, nós
fatoramos o i, +(x^5)/5!, e então o próximo termo imaginário esta bem aqui, nós fatoramos o i, então fica
-(x^7)/7!, e obviamente você continuaria, então, +, -, continuaríamos, e assim vai. Preferivelmente até o infinito, para
podermos conseguir uma aproximação tão boa quanto possível. Então temos uma situação onde e^(ix) é igual a
toda essa coisa aqui. Mas provavelmente se lembra, dos ultimos vídeos, a parte real, isso era a
aproximação polinomial, isso era a aproximação de MacLauren de cos(x) próxima a 0, ou, devo dizer, a aproximação
de Taylor próxima a 0, ou então poderiamos chamar de aproximação de MacLauren. Então isso e isso são a
mesma coisa. Então esse é o cos(x), especialmente quando voce adiciona um numero infinito de termos, cos(x). Esse aqui, é
sen(x), exatamente a mesma coisa. Parece então que nós somos capazes de reconciliar como podemos adicionar cos(x) e sen(x) para obtermos
alguma coisa que é e^x. Esse aqui é sen(x), e entoão, e, se nós admitirmos, e eu não estou rigorosamente provando
para vocês, que se pegarmos esse infinito numero de termos aqui, que isso essencialmente se torna cos(x), e se você
pegar um infinito numero de termos aqui, isso vai se tornar sen(x), isso nos leva a uma formula fascinanete. Nós podemos dizer
que e^(ix) é a mesma coisa que cos(x), e voce deve estar tendo arrepios agora, é igual a
cos(x)+i(sen(x)), e isso é a Formula de Euler. Isso aqui é a Formula de Euler, e se isso por conta própria não
é provocante e maluco o suficiente para você, porque realmente deveria ser, porque nós já fizmeos coisas
bem legais. Nós envolvemos e, que nós obtemos de composição continua de juros, nós temos cos(x) e
sen(x), que são razões de triangulos retangulos, que vem do circulo unitário, e de algum jeito nós colocamos (-1)^(1/2),
parece que temos essa relação interessante aqui. Mas ela se torna extra interessante, e nós vamos assumir que
estamos operando em radianos aqui, se assumirmos a Formula de Euler, o que acontece quando x é igual a pi. Apenas para
colocar um outro numero louco aí, a razão entre a circunferencia e o diametro de um circulo,
o que acontece quando colocamos pi? Nós temos que e^((i)(pi)) é igual a cos(pi), cos(pi) é o que? cos(pi) é, pi é
meio caminho em volta do circulo, então cos(pi) é -1, e então sin(pi) é 0. Então esse termo some. Então se você
avaliar isso em pi, você obtem algo surpreendente, isso é chamado Identidade de Euler!! Identidade de Euler! Eu sempre tive
problemas pronunciando Euler. Identidade de Euler!! Que nós podemos escrever assim, ou adicionar 1 aos dois lados, e nós
podemos escrever assim. E eu vou escrever numa cor diferente para ênfase. e^((i)(pi))+1=0. E ISSO, isso é
instigante. Quer dizer, aqui nós temos, só para você ver, quer dizer, isso aqui nos diz que existe uma conexão
no Universo que nós não compreendemos completamente, eu pelo menos, eu não compreendo completamente. i é definido por engenheiros
para simplicidade para que eles possam achar raizes de todos os tipos de polinomios, como, poderia-se dizer, a raiz quadrada de -1.
pi é a razão entre a circunferencia de um circulo com seu diametro, novamente, outro número
interessante, mas que aparentemente vem de um lugar diferente de i. e vem de vários lugares.
e você pode pensar nele, como vindo de composição continua de juros, super importante para Finanças
vem também da noção de que a derivada de e^x também é e^x, então outro número fascinante, mas de
novo, aparentemente sem relação com como definimos i, e aparentemente sem relação com como definimos pi.
E então, é claro, você tem dois dos mais profundos e básicos números aqui, você tem 1, eu não
tenho que explicar porque 1 é um número interessante, e eu não deveria ter que explicar porque 0 é um número interessante. Então isso bem
aqui, conecta todos esses números fundamentais, de uma forma mistica, que nos mostra que existe alguma
conexão no Universo, então, francamente, francamente, se isso aqui não te deixa chocado, você realmente...
você não possui emoção.