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Fizemos vários exercícios de multiplicação, soma,
subtraindo e invertendo matrizes.
Então agora vamos investigar um pouco para que serve
uma matriz.
E lembre-se, toda matriz é é, uma forma de
representar dados.
E todas as regras que aprendemos, você pode vê-las
como regras criadas pelos humanos.
Não há fundamento na natureza que diz que matrizes
devem ser multiplicadas da forma que aprendemos.
Mas eu acho que você vai ver, conforme vamos progredindo nas aplicações,
que a forma que a operação da matriz foi definida
é, na verdade, bastante útil.
Então vamos voltar à Algebra um ou Algebra dois.
Eu esqueço de quando você tende a aprender isto.
Mas voltemos às equações lineares.
Então o que são equações lineares?
Sistemas de equações lineares.
Bom, você tinha duas linhas, e essencialmente teve que descobrir
onde as duas linhas se interceptam.
Então você deve ter alguma coisa como-- deixe-me pensar
em alguma coisa-- três x mais dois y.
Que é igual a sete.
E aí você deve ter, menos seis x mais seis y igual a-- eu
preciso fazer isto de cabeça para ter certeza que eu consigo
números que funcionam-- igual a seis.
Eu acho que isto vai funcionar.
And what was this problem essentially? E o que era, essencialmente, este problema?
Bom, isto é uma linha, e isto é uma linha.
Então você tinha que descobrir onde elas interceptam.
E se você fosse desenhar aquelas duas linhas--
Na verdade, vamos desenhá-las.
Apenas porque isto é sobre ter intuição, e ver
como isto fica no mundo da matriz.
E as palavras "mundo da matriz" possuem um novo
significado depois de 1999.
Vamos ver, se estes forem meus eixos de coordenadas, o que é isto?
Eu sempre tenho que colocar dentro da forma y igual a mx
mais b-- Então esta equação é igual a quanto?
É y igual a três meios x mais sete meios.
So 7/2 is what? Então sete meios é quanto?
É como três meios ou alguma coisa?
Então se for sete meios, isto terá uma inclinação de três meios.
Então é um pouco mais íngreme do que uma inclinação de um.
Então isto irá se parecer com algo assim.
É aquela linha.
E então esta linha irá se parecer com o que?
Vou fazê-la de uma cor diferente.
Irá se parecer com-- é a mesma coisa que--
Ah, sabe o que?
Eu fiz errado.
Porque aquela linha, eu percebi, é igual a
menos três x mais sete meios.
Porque quando você leva esta para outro lado, se torna
menos três x dividido por dois, então será
descendente.
Então irá se parecer com alguma coisa assim.
Será um pouco mais íngreme do que alguma coisa que
tem uma inclinação de menos um, então estou apenas aproximando.
Então aquela linha irá se parecer com algo assim.
E esta linha, será y-- estou apenas reescrevendo isto--
y igual a x mais um, se estiver correto.
Sim.
Porque isto vai para o outro lado.
Divido tudo por seis.
y é igual a x mais um, então seu y que intercepta será-- Dissemos
isto era três e meio, então talvez se isto for um.
And it has a slope of 1. E tiver uma inclinação de um.
Então irá se parecer com alguma coisa assim.
E então quando você resolve um sistema de equações, você está
essencialmente olhando para os valores de x e y que satisfazem
ambas as equações.
Esta linha magenta nos mostra todo os valores de x e y que
satisfazem a primeira equação linear.
E esta linha verde nos mostra todos os x e y que
satisfazem a segunda equação.
E claro onde eles interceptam o
particular x e y que satisfazem ambas as equações.
Então é o que fizemos em Algebra um.
Resolveríamos ambas as equações para isto.
E tanto faríam isto por substituição, ou por escala
e somá-los juntos, etc, etc.
E como você vai ver, é essencialmente o que nós
aprendemos na eliminação de Gauss-Jordan.
É a mesma coisa.
Foi apenas quando fizemos a eliminação de Guass-Jordan, nós
representamos isto um pouco diferente.
Mas eu acho que você já sabe isto.
Mas vamos fazer isto agora no mundo da matriz.
Então como podemos representar este problema como uma matriz?
Podemos escrever isto assim, e vamos tomar um pouco do nosso
tempo para provar a você que isto é a mesma
representação.
Se você definir matrizes da forma que definimos
em sua multiplicação.
Você pode definir este problema como três, menos seis, dois, seis.
Eu só peguei o coeficiente, três, menos seis, dois, seis.
E se eu fosse multiplicar isto rápido. Vetor coluna
matriz xy.
E se eu fosse preparar isto como a um outro vetor de coluna
matriz sete, seis.
Agora você pode pausar o vídeo e tentar
multiplicar isto, do outro jeito que aprendemos a
multiplicar matrizes.
E você vai ver que obteve a mesma coisa.
Mas vou fazer isto agora, no caso de você
querer fazer sozinho.
Então vamos multiplicar estas duas matrizes.
Vamos multiplicar esta matriz e ver o que acontece.
Então o que você faz?
Você obtém a informação da linha da primeira matriz,
informação da coluna da segunda matriz.
E isto, claro, é o produto da matriz.
Então isto é o mesmo que dizer três vezes x mais duas vezes y é igual a sete.
Bom, é exatamente o que escrevemos aqui.
Três vezes x mais duas vezes y é igual a sete.
E, da mesma forma, quando você multiplica a linha de baixo, você
obtém menos seis vezes x mais seis vezes y igual a seis.
Então se isto for um pouco confuso a você,
reveja como multiplicamos matrizes.
Mas se você apenas multiplicar isto, você irá obter exatamente
as mesmas equações.
Então espero que você tenha entendido que isto é uma outra forma
de representar este problema.
Embora tenhamos nos livrado do sinal de mais
e do sinal de igual.
Mas é claro que você tem que saber a representação.
Mas por que isto é útil?
useful? Por que esta representação é útil?
Bom, vamos chamar isto de matriz a.
Vamos chamar isto de vetor x.
Não é uma variável.
É um vetor.
Então talvez devamos colocá-lo em negrito, ou colocar um pequeno sinal de vetor 146 00:07:17,420 --> 00:07:17,970 ali ou alguma coisa.
Tanto faz.
Mas você verá isto em seu livro.
Está bem em negrito bem forte.
E então chamamos isto de vetor b.
E a notação geral-- se eu me lembro corretamente-- é
que qualquer coisa que for uma matriz ou um vetor fica em negrito.
E matrizes que não sejam vetores, que tenham mais do que
uma dimensão em qualquer das dimensões,
estão em letras maiúsculas.
Enquanto letras minúsculas representam vetores.
Então estas são matrizes, mas também são vetores.
Então é por isso que possuem letras minúsculas.
E é por isso que esta possui letra maiúscula.
É apenas uma convenção.
Então esta equação tem a forma ax igual a b, onde a é esta
matriz, x é este vetor-- ou esta matriz, mesma coisa-- e
b é este vetor de coluna.
Então o que isso significa para nós?
Bom, o que acontece se soubermos um inverso?
Bom, na verdade, deixe-me voltar um pouco.
Se estes fossem números, o que faríamos?
Se eu tivesse acabado de dar uma equação algébrica, onde ax é igual a b.
Como você resolve isto?
Bom, você dividiria ambos os lados desta equação por a.
Ou uma outra maneira de dizer isto, você multiplica ambos os lados
desta equação pelo inverso de a.
Então você diria essencialmente: um sobre a vezes ax é igual
a um sobre a vezes b.
E então estes seriam cancelados, e você obteria x
igual a b sobre a.
É como faríamos isto em uma equação
simples e linear.
Então como você faria isto aqui?
Bom, qual é a analogia da matriz para divisão?
E eu vou te dar a resposta agora.
Qual é a analogia de multiplicar pelo seu inverso?
Bom, é multiplicar pelo seu inverso.
E se soubéssemos qual é o inverso da matriz a?
Poderíamos apenas multiplicar ambos os lados
desta equação pelo inverso.
E lembre-se, a ordem importa.
Então não é como quando você faz a equação linear
que você pode multiplicar um sobre a neste lado.
Mas aí você pode fazer isto deste lado aqui.
Mas não.
Note, eu coloco isto na frente dos números em ambos os casos.
Então você tem que fazer isto na frente dos números, de ambos os lados.
Mas se soubermos o inverso, e se o inverso existe, então nós
podemos multiplicar ambos os lados-- você pode dizer que o lado esquerdo de ambos
os lados desta equação pelo inverso.
Inverso de a vezes a, vezes o vetor x é igual ao
inverso vezes b.
Tudo o que eu fiz foi pegar esta expressão, e multiplicar
ambos os lados por um inverso.
E qual é o inverso vezes a?
Bom, é apenas a identidade da matriz.
É a identidade da matriz vezes x igual
ao inverso de b.
E claro que é x.
A matriz de identidade vezes qualquer outra matriz
é apenas aquela matriz.
Então é apenas a matriz x, ou o vetor x
vezes o inverso de b.
Então, se te derem uma equação linear, e se você souber o
inverso da matriz, para resolver x e y, nós
temos que multiplicar este número vezes o inverso.
E você pode dizer, Sal, é tão chato.
Porque esta é uma equação tão simples de resolver.
Por que eu iria ter todo o trabalho de de pegar o inverso,
e então multiplicar o inverso vezes este número.
you to some degree. E eu, até certo ponto, concordaria com você.
Isto para um sistema de dois por dois das equações, é mais fácil
resolver da forma que você fez em Algebra um ou Algebra dois.
Mas se você estiver fazendo isto para um três por três, bom, encontrando a matriz
é ainda bastante difícil para um três por três,
então ainda é difícil.
Mas conforme você for obtendo números maiores e maiores,
às vezes-- bom, encontrar uma matriz pode ser difícil também--
Mas na verdade o lugar de fato, onde realmente
vai compensar fazer isto, vamos dizer que você tenha um monte de
equações lineares para resolver.
E o lado esquerdo permanece o mesmo.
Mas você continua mudando o lado direito.
Então digamos que você tenha ax igual a b.
E então você tem um outro que diz, ax igual a c,
e ax igual a d.
E estes números continuam mudando.
E estes números permanecem os mesmos.
Então realmente compensa resolver com o inverso.
E então toda vez que você precisar encontrar uma nova solução, você
apenas multiplique seu novo lado direito vezes seu
inverso, e você obtém a resposta.
E isto vai compensar quando você ver
de outra forma.
Mas de qualquer forma, eu queria te mostrar que
isto é a mesma coisa.
Então vamos resolver usando o nosso
conhecimento de matrizes.
Let me erase this here, and I know I'm running over time, Deixe-me apagar isto, eu sei que estou ficando sem tempo,
but hopefully I'm not completely boring you. mas espero que eu não esteja te aborrecendo.
Então irei manter isto aqui porque acho
que é legal ter aquela representação visual
do que estamos fazendo.
Para lembrar sempre do que está acontecendo.
Então, qual é o inverso de a?
Então, antes de mais nada, o inverso de a é igual a um sobre o
determinante de a vezes a adjunta desta matriz.
Eu não quero usar uma terminologia muito complicada, mas
o que era aquilo?
Dois por dois é bastante fácil.
Você troca estes dois termos. Você obtém um seis e um três.
E então você obtém estes dois termos negativos.
Então a menos seis é seis.
E a se torna a menos dois.
E qual é o determinante de a?
O determinante de a é igual a isto vezes isto menos isto
vezes isto.
Então três vezes seis.
Três vezes seis é dezoito menos isto vezes isto.
Então seis vezes dois é doze.
É a menos seis.
É menos doze.
Então menos menos doze.
É igual a mais.
Então dezoito mais doze é igual a trinta.
Então o inverso é igual a quanto?
Um sobre trinta vezes isto aqui.
Então um inverso é igual a-- nós podemos até manter o um sobre trinta
de fora.
That might simplify things. Isto pode simplificar as coisas.
Bom, na verdade vou colocar--
Então inverso de a é igual a quanto?
Isto dividido por trinta.
Então é um quinteo, menos-- na verdade eu quero manter isto
de fora, porque vai tornar a
multiplicação mais fácil.
Mas continuando, a é igual a um sobre trinta vezes seis, menos dois, seis, três.
É o inverso de a.
Então agora vamos resolver para x e y.
Então dissemos que x e y é igual ao inverso de a vezes b.
Então podemos dizer que x-- uma outra forma de escrever x é assim.
x é apenas este vetor.
x e y.
Para não ficar confuso, este x é diferente daquele x, mesmo
que tenhamos escrito da mesma forma.
Se eu fosse um tipógrafo, escreveria isto bem em negrito,
para você saber que isto é um vetor.
Talvez eu deva colocar uma notação de vetor.
Não sei.
Você pode fazer um monte de coisas com isso.
É igual ao inverso de a vezes isto.
Então é um trinta avos.
Eu fiz isto apenas para a soma da matriz. 304 ç00:14:22,490 --> 00:14:26,920 Eu nao dividi tudo por trinta, para a multiplicação
da matriz ser um pouco mais fácil.
Menos dois, três, vezes sete sextos.
Então isto é igual a quanto?
É igual a um sobre trinta vezes-- eu sei que estou juntando isto
aqui-- vamos ver.
Seis vezes sete menos dois vezes seis.
Então seis vezes sete é quarenta e dois.
Menos duas vezes seis, então menos doze.
Então isto é igual a trinta.
E então seis vezes sete mais dois vezes seis.
Então seis vezes sete, mais uma vez é quarenta e dois.
Mais dois vezes seis.
Então quarenta e dois mais doze é cinquenta.
Está certo?
Seis vezes sete-- ah, desculpe.
Isto é um três.
É por isso que estava ficando confuso.
Veja, é importante ter uma boa caligrafia.
Então seis vezes sete é quarenta e dois, mais três vezes seis.
Então é quarenta e dois mais dezoito, que é sessenta.
E claro que você divide ambos por trinta.
Então você obtém o xy final.
Vou escrever aqui.
Não quero apagar nada.
Então temos xy igual a-- divide ambos por trinta--
igual a um e dois.
E então isto nos diz que estas duas equaçõe lineares
se interceptam no ponto x igual a um, y é igual a dois.
Isto pode dar um pouco de trabalho, mas
é porque eu levei um tempo para explicar.
Mas se você pegar isto em seguida, representado desta
forma, com o inverso encontrado, e multiplicado, não teria
levado tanto tempo.
E eu aconselho você a fazer isto como um exercício.
De qualquer forma, vejo você no próximo video.
E no próximo vídeo, vamos fazer exatamente o mesmo
problema, mas vamos ver que este dado representa
um problema diferente.
Veja