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X
Vamos fazer mais alguns exemplos de limite.
Vamos pegar outro problema.
Se eu tivesse o limite como x abordagens 3 de, vamos dizer,
x ao quadrado menos 6 x mais 9 sobre x elevado ao quadrado menos 9.
Então a primeira coisa que eu gosto de fazer sempre que vejo qualquer um desses
problemas de limites é basta substituir o número e
ver se eu conseguir algo que faça sentido, e
então nós seria feitos.
Bem, geralmente nós seria feitos.
Eu não quero fazer estas afirmações radicais.
Se a função é contínua, nós seria feitos.
Mas se nós colocamos o 3 no numerador, obtemos 3 ao quadrado,
o que é 9, menos 18 mais 9.
Assim que é igual a 0.
E o denominador também - vamos ver, 3 ao quadrado menos
9, que também é igual a 0.
Portanto, não gostamos de ter 0/0.
Minha ferramenta de caneta é mau novamente.
Por isso não gostamos de ficar 0, 0, 0, então existe alguma maneira que nós podemos
simplificar esta expressão talvez obtê-lo como uma expressão
que, quando avaliamos em x é igual a 3, nós realmente chegar
algo que faz sentido?
Bem, sempre que vejo dois destes polinômios aqui, e
eles olham, apenas inspecionando-os, relativamente fácil de
fator, eu gosto de fator-los para fora porque talvez haja a
mesmo fatorar o numerador e o denominador, e
em seguida, nós pode simplificar a TI.
Então, vamos dizer que esta é a mesma coisa que - que parece
gosto de x plus 3 - x não, não, não, menos 3.
Isto é x menos 3.
Olha realmente como ele é x menos 3 ao quadrado, mas estamos
só vai escrever x menos x 3 vezes menos 3, que é, de
curso, x menos 3 ao quadrado.
E, em seguida, no denominador, você sabe como fatorar estes,
Isto é x mais x 3 vezes menos 3, tudo bem?
Assim o limite como x aproxima 3 desta expressão é o mesmo
coisa como o limite como x se aproxima de 3 de
Essa expressão.
E, naturalmente, nada de que podemos fazer para mudar o fato
que essa função, ou essa expressão, é indefinida
x é igual a 3.
Mas se nós pode simplificar a TI, podemos descobrir
o que que se aproxima.
Bem, se nós supor que x é qualquer número mas 3, nós pode atravessar
fora estes dois termos porque então eles não seria 0, certo?
Só é 0 quando x é igual a 3 porque – assim no numerador
e o denominador, nós pode riscar isso.
E podemos dizer - e eu não estou sendo muito rigoroso aqui, mas
Este é tipo de como é ensinada, e eu penso que você começ a
intuição - que esta é a mesma coisa que o limite como x
3 x menos 3 sobre x mais 3 se aproxima.
Agora vamos apenas tentar furar o x em e ver o que temos.
Bem, no numerador, obtemos 3 menos 3.
Podemos ainda obter 0.
Mas no denominador, obtemos 6, certo?
3 plus 3 é 6.
Então, agora temos um bom número.
0 ou 6, bem, que é um número real, então ele é 0.
0/6 é 0.
Assim que era interessante.
A primeira vez que fez isso, nós temos a resposta 0/0.
E agora nós temos a resposta 0, simplificando.
Mas, claro, é muito importante lembrar que
Esta expressão não está definida em x é igual a 3.
Ele tem definido em todos os lugares mas, mas se tivéssemos de gráfico, e
Convido você a fazer isso, você gostaria de ver como você começ
mais perto e mais perto de x é igual a 3, o valor do presente
expressão será igual a 0.
E eu sei que você está pensando.
Bem, isso era 0/0.
Cada vez que recebo 0/0 vai acabar tornando-se apenas 0 quando
Eu avaliar a expressão?
Bem, vamos explorar isso.
Deixe-me esclarecer isso.
Vamos dizer o que é - caneta não é-trabalho-o limite como x
1 x ao quadrado menos x menos 2 se aproxima.
Não, digamos x ao quadrado mais x menos 2.
Como você pode ver, eu faço tudo isso na minha cabeça, e
Estou propenso a erros.
E tudo isso sobre x menos 1.
Bem, mais uma vez, se nós apenas avaliá-lo, vamos ver o que
acontece quando x é igual a 1.
Você obtém 1 quadrado mais 1, s 2 menos 2.
Você começa 0/0.
Uma vez mais, obtemos 0/0, e nós temos que fazer algo para
Este talvez para simplificar a TI.
Bem, vamos fatorar o topo.
Assim que é a mesma coisa que o limite como x abordagens 1.
Bem, que o x menos vezes 1 x mais 2, certo?
E eu acho que você vai descobrir muitas vezes quando você ver um monte de
limitar problemas que factor mesmo se este top, se neste top
expressão, é difícil de factor, as chances são, uma das coisas
no denominador que estão fazendo esta expressão
indefinido é, provavelmente, um fator aqui.
Então, às vezes você pode obter uma coisa mais complexa que não é
tão fácil de factor como este, mas um bom ponto de partida é a
Acho que um dos fatores que vai ser na parte inferior
expressão porque esse é o tipo do truque destes problemas,
apenas simplificar a expressão.
Uma vez mais, se nós supor que x não é igual 1, e
Esta expressão não seria 0 e isso não seria 0,
então esses dois poderiam ser cancelados.
E temos que se trata da mesma coisa como o limite como
x se aproxima de 1 do x mais 2.
Bem, agora isso é muito fácil.
Qual é o limite como x abordagens 1 do x mais 2?
Bem, você ficar 1 lá, e você começa 3.
Por isso é interessante.
Quando nós apenas tentamos avaliar a expressão em
x é igual a 1, temos 0/0.
No exemplo anterior, vimos que ele avaliado fora quando
você o simplificado para 0, e neste exemplo, ele saiu para 3.
E eu realmente recomendo que você, se você tiver uma calculadora de representação gráfica,
essas funções que estamos fazendo e ver e mostrar de gráfico
-se visualmente que ele é verdade, que o limite que você
abordagem, digamos, x equivale a 1 realmente faz abordagem a
limites que estavam resolvendo.
E fazer backup de seus próprios problemas.
Inferno, que é o que estou fazendo.
Então você poderia provar isso a mesmo.
Então, vamos fazer outro.
Vamos fazer um que eu acho que é bastante interessante.
Vamos dizer qual é o limite como x infinito de abordagens?
O limite como x se aproxima do infinito, vamos dizer, x
quadrado mais 3 sobre x para o terceiro.
Portanto, a forma como eu penso sobre estes problemas como eles se aproximam
infinito, apenas pense sobre o que acontece quando você começa
realmente, realmente, realmente grandes valores de x.
E tipo de um forma de fazer batota de fazer isto é, se você tiver um
Calculadora, mesmo se você não tiver uma calculadora, colocar
em grandes números aqui.
Veja o que acontece quando x é um milhão, ver o que acontece quando
x é um bilhão, ver o que acontece quando x é um trilhão,
e eu acho que você vai obter o ponto.
Você verá o que — se não houver um limite aqui, você vai
Veja o que ele vai.
Mas a maneira que eu penso sobre ele é, no numerador, tipo de
o termo cresce aqui é o termo x ao quadrado, certo?
Este é o termo mais cresce aqui.
No denominador, o que é o termo mais rápido crescimento?
Bem, no denominador, o termo cresce
é este x para o terceiro.
Bem, o que vai crescer mais rápido, x para a
terceiro ou x ao quadrado?
Bem, sim, x ao terceiro vai crescer muito
mais rápido do que x elevado ao quadrado.
Assim este denominador, como você obter maior e maior e maior
valores de x, vai crescer muito mais rápido que o numerador.
Assim você poderia imaginar se o denominador da crescendo muito,
mais muito, muito rápido do que o numerador, como você obter maior
e números maiores, você está indo para obter um menor e
fração menor e menor, certa?
Ele vai abordagem 0.
E então, como você ir ao infinito, que se aproxima de 0.
Eu sei que eu tipo de mão apenas acenou, mas isso é realmente
como você pensa sobre ele.
Outra maneira você poderia fazê-lo é que você poderia realmente
Divida esta fração.
Realmente você poderia dividir essa expressão racional, e você vai
obter algo como 1 / x mais alguma coisa, algo,
alguma coisa e então você também veria, Ah, bem, o limite como x
infinito de abordagens de 1 / x também é 0.
Vamos fazer um mais.
Eu vou fazer isso rápido assim que pode confundi-lo.
O limite como x se aproxima do infinito de 3 x ao quadrado mais
x sobre x 4 quadrado menos 5.
Esses problemas de tipo de olhar confusos, às vezes, mas
eles estão realmente fácil.
Você apenas tem que pensar sobre o que acontece como você obter
realmente grandes valores de x.
Bem, como você começ realmente grandes valores de x, esses termos pequenos,
esses entes não crescem tão rápido quanto estes termos grandes,
tipo de Don't matter anymore, certo, porque você está recebendo
realmente grandes valores de x.
E neste caso, estes não importam mais e então
Estes termos dois x crescem no mesmo ritmo, certo?
E eles estarão sempre tipo de crescimento em
Essa proporção de 3 para 4.
Assim o limite aqui é realmente muito fácil.
É 3/4.
Então o que você faz é você apenas descobrir o que tem a
termo de mais rápido crescimento na parte superior, o que há de mais rápido crescimento
termo no inferior e, em seguida, descobrir o que ele se aproxima.
Se eles são o mesmo termo e, em seguida, tipo de cancelar, e
você diz que as abordagens de limite 3/4.
É uma forma muito nonrigorous de fazê-lo, mas ele fica
é a resposta certa.
Vejo você na próxima apresentação.