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Neste video que quero que voce se familiarize com a ideia do limite, que é uma ideia super importante
É realmente a ideia em que todo o calculo é baseado.
Porém além de ser super importante, é também uma idéia muito simples.
Então deixe eu desenhar uma função aqui - na verdade, deixe eu definir uma função
aqui. É uma função simples. Então deixe eu definir f(x) - vamos dizer que f(x) vai ser (x-1) / (x-1).
E você poderia dizer, "Sal, veja, eu tenho o mesmo valor no numerador e no denominador.
Se eu tenho alguma coisa divido por ela mesma, isso deveria ser simplesmente igual a um! Eu não posso simplificar isso para f(x)=1 ?"
E eu diria, "Bem, você esta praticamente certo, a diferença entre f(x)=1 e isso aqui
é indefinido quando x=1. Então se você definir - deixe eu escrever aqui - se você tem
f(1), o que acontece? no numerador, você tem (1-1), que é... deixe eu escrever aqui embaixo.....
no numerador você tem 0, e no denominador você tem (1-1), que também é 0. Então qualquer valor dividido
por 0, incluindo 0/0, é indefinido. Então voce pode fazer a simplificação - voce pode dizer que isso é
a mesma coisa que f(x)=1, porém você tem que adicionar a restrição que x não pode ser igual a 1. Então isso
e isso são equivalentes. Esses dois vão ser igual a 1, para todos os outros valores de x diferentes de 1. Porém
em x=1, issa função é indefinida. Isso é indefinido e esse outro é indefinido. Então como eu deveria fazer o gráfico dessa função?
bom, deixa eu fazer o gráfico.... Isso é o meu eixo y=f(x), e esse outro aqui é o meu eixo x, então vamos dizer
que nesse ponto x=1, e nesse outro ponto aqui seria x=-1, esse é y=1, e esse outro aqui eu posso dizer -1 mas isso
não importa muito para essa função, então deixe eu fazer o gráfico dela. Então essencialmente para
qualquer x diferente que 1, f(x)=1. Então vai parecer com algo assim....exceto em 1. Em 1, f(x) é indefinida, então
Eu vou colocar uma pequena lacuna aqui, esse círculo, que significa que essa função
não é definida - nós não sabemos o que essa função vale em 1, nós nunca definimos.
Essa definição da função não nos diz o que fazer em 1 - é literalmente indefinida, quando x=1.
Então essa função aqui, e de novo, se alguem perguntasse a você qual é f(1), você teria
falado, bom essa foi a definição da função, você deveria ir com x=1. Mas espere, tem uma lacuna na minha função
aqui, ela é indefinida. Então deixae eu escrever novamente.... bom, é meio redundante, mas deixe eu reescrever aqui.
f(1) é indefinida. Mas se eu tivesse que pergunta a você, qual é a função quando o valor de aproxima
de x=1?. E agora, isso esta se aproximando da ideia do limite. Então quanto mais x se aproxima de 1...
qual é a função? Bom esse tempo todo, qual o valor que estamos chegando mais e mais próximos?
No lado esquerdo, não importa o quão proximo você chegar de 1, enquanto voce não estiver em 1, f(x)=1.
Aqui do lado direito, você tem a mesma coisa. Então você diria - e você vai
se familiarizar mais e mais com a idéia quando nós fizermos mais exemplos - que limite
de x (e lim, abreviação de limite) - quando x se aproxima de 1 de f(x) é igual a....
Quando mais próximo chegarmos, vamos ter um valor infinitamente próximo de 1 enquanto o valor não for 1....
e a nossa função será igual a 1, esta chegando cada vez mais próximo de 1,
é na verdade 1 todo o tempo. Então nesse caso, podemos dizer que o limite quando x se aproxima de 1 para f(x)
é 1. Então novamente, isso tem várias notações especiais, estamos somente dizendo, "Veja, qual é a função quando aproximamos
x mais e mais próximo de 1"?
Deixe eu fazer outro exemplo aonde estamos trabalhando com uma curva, para que você tenha uma idéia mais ampla.
Então vamos dizer que eu tenho a função f(x) - e deixe eu definir somente para ser mais genérico, que será g(x).
Então vamos dizer que eu tenho g(x) iqual a ... Eu posso definidir dessa forma, podemos definir como x^2
quando x não for igual a 2, e vamos dizer que quando x=2, isso é iqual a 1. Então novamente, é um tipo interessante
de função que - como você pode ver - não é completamente contínua. Ela tem uma discontinuidade. Deixe eu fazer gráfico dela.
Entao esse é o meu eixo y=f(x), e esse é o meu eixo x aqui. Vamos dizer que isso é x=1, isso é x=2,
isso é -1, isso é -2... então qualquer valor exceto x=2, isso será iqual a x^2. Então deixa eu desenha isso,
isso será uma parabola, isso vai parecer alguma coisa assim...
Deixei eu desenhar uma versão melhor da parabola. Então vai parecer algo assim, realmente não é a mais bonita
parabola da historia dos desenhos de parabolas, mas eu acho que vai dar uma idea do que a parabola
parece, espero. Isso deveria ser simétrico... deixe eu redesenhar, porque não esta bonito.....
Agora parece melhor, ok, aqui está. Ótimo.
Agora, isso deveria ser o gráfico somente de x^2, mas isso não será x^2 quando x=2. Então novamente, quando x=2,
nós teremos uma pequena discontinuidade aqui, então eu vou desenhar uma lacuna aqui,
porque quando x=2, a função é igual a 1.
Eu não estou fazendo na mesma escala.... no gráfico de f(x)=x^2 isso deve ser 4, isso deve ser 2,
isso 1 e isso 3. Então, x=2, nossa função é iqual a 1.
Então essa é uma função bizarra, mas você pode defini-la dessa forma. Você pode definir uma função porém
você deve defini-la! E para tanto, note, que ela é como o gráfico de f(x)=x^2 exceto quando você tiver 2,
ela tem essa lacuna, porque voce não user o "g(x)=x^2 quando x=2", você usa "g(x)=1".
Se eu estava dizendo f(x), me desculpe.
Você usa g(x)=1, então exatamente no 2, ela desce para o valor 1, e então segue como x^2.
Então temos chegamos a algums pontos. Se eu tiver que avaliar somente a função - g(2),
bom olhe para essa definição. OK, quando x=2, Eu uso essa situação aqui,
e isso me indica que serã igual a 1. Então deixe eu perguntar algo mais interessante, ou possivelmente mais
interessante. Qual é o limite de x quando ele se aproxima de 2 de g(x)? Novamente, uma notação especial, mas
isso esta perguntando algo muito muito simples. Isso esta dizendo "quando mais próximo x se aproxima de 2....
quando voce chege mais e mais próximo - e isso não é uma definição rigorosa, nós vamos faze-la em vídeo futuros -
quando x se aproxima mais e mais de 2, qual é o valor que g(x) esta se aproximando? Então se você fizer para 1.9, e depois para 1.999, e depois para 1.999999
e depois para 1.99999999, qual é o valor que g(x) está se aproximando? Se você vier pela posição positiva,
se você disse 2.1, qual é g(2.1)? Qual é g(2.01)? g(2.001)?
Qual é o valor que estamos nos aproximando quando chehamos mais e mais próximo dele?
e você pode ver ele visualmente só desenhando o gráfico. Quando g se aproxima mais e mais de 2...
e se formos seguindo o gráfigo, nós vemos que estamos nos aproximando de 4,
e mesmo que não seja aonde a função está - a função desce para 1 - o limite de g(x) quando
x se aproxima de 2 é igual a 4. Você pode inclusive verificar isso de forma numérica usando uma calculadora.
Deixe eu fazer isso, porque eu facho que será interessante. Então deixe eu pedar uma calculadora aqui....
Deixe eu pegar a minha confiável TI-85... Então aqui está a minha calculadora....e você pode numericamente dizer,
ok, qual será o valor quando me aproximo de x=2? Então vamos tentar com 1.9. Para x=1.9, você usar isso
aqui. Então voce tem 1.9^2, que resulta em 3.61.
Bom, se fizermos para algo ainda mais proximo de 2? Então 1.99, e novamente deixe eu fazer o quadrado dele,
bom, eu cheguei a 3.96. Então se fizer 1.999 e fizer o quadrado?
Então chego a 3.996. Note, estou chegando mais e mais próximo do nosso ponto.
E se eu chegar realmente proximo - 1.99999999999999^2? O que eu vou obter? Não será
exatamente 4 - essa calculadora arredondou o valor - porque nós teríamos um avalor realmente muito muito
muito muito próximo de 4. E nós podermos fazer algo na direção positiva também, então
temos que chegar no mesmo número que chegamos desde um valor menor que 2
Então se tentarmos 2.1^2, termos 4.4
Deixeu eu avançar alguns passos...
2.0001^2. Isso é muito mais próximo de 2. Agora estamos chegando mais próximos de 4.
Então o mais próximo que você chegar de 2, aparentemente o mais próximo de 4 você chega.
Então novamente isso é uma forma númerica de ver que o limite de x quando ele se aproxima de 2 em ambas as direções
para g(x) - mesmo que no ponto exatamente igual a 2, essa função seja iqual a 1, porque ele é discontinua.
o limite quando nos aproximamos de 2, estamos chegando mais e mais próximo de 4.