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X
Agora que já entendemos o
teorema "sanduíche", vamos usar ele para provar que o limite
--vou fazer em amarelo-- o limite quando x tende a zero
de sen(x) sobre x vale 1.
E você deve estar ansioso agora, porque
eu já disse isso muitas vezes.
Então vamos fazer, e realmente, nós vamos usar--obviamente
as funções trigonométricas-- e será uma prova geométrica.
Então eu vou desenhar o 1° e 4° quadrantes
da circunferência trigonométrica.
Vou desenhar em rosa.
Vamos ver, deixe-me ver se eu-- eu devo
desenhar bem grande.
Deixe-me ver.
Eu devo desenhar realmente grande.
Então vou desenhar
assim.
Está bom.
E agora vou desenhar os eixos.
Então esse é o eixo x, mais ou menos aqui.
Desculpa, esse é o eixo y.
eixo y
Assim.
E o eixo x, mais ou menos assim.
Essa é a circunferência trigonométrica.
trigonometrica
Aqui está.
Agora, deixe-me desenhar outras coisas.
Vou desenhar o-- bem, é raio, mas eu vou
passar além da circunferência.
da circunferencia
Vou até aqui.
Vou desenhar mais algumas coisas, para preparar o problema.
Não, isso não é o que eu queria fazer.
Eu queria fazer a partir desse ponto.
Assim.
E agora, a partir desse ponto,
quero fazer isso.
E agora eu quero desenhar outro a partir desse ponto.
Eu vou fazer isso.
E agora estamos prontos.
Então, o que eu disse?
Essa é a circunferência trigonométrica, certo?
O que isso significa?
Significa que o raio vale 1, por definição.
Então a distância daqui até aqui vale 1.
Agora, se esse ângulo vale x radianos,
qual é a medida desse segmento?
Qual é o comprimento dessa linha?
Por definição, sen(x) é definido como
a coordenada y de qualquer ponto da circunferência.
Então esse é o sen(x).
sen(x)
Por falta de espaço, vou fazer uma seta aqui.
Aqui está o sen(x).
sen(x)
Agora, vou fazer uma pergunta mais difícil.
Qual é a medida dessa linha?
?
Bem, vamos pensar.
O que é uma tangente?
Vamos relembrar a definição de tangente.
A tangente é
o cateto oposto sobre o adjacente.
Então o que é a tangente de x?
?
Bem, seria igual a-- podemos pegar isso-- se
esse é um triângulo retângulo, seria esse
lado-- o oposto-- sobre o adjacente, certo?
Então vamos chamar essa medida aqui
"o" de oposto.
Mas qual é a medida do cateto adjacente?
Qual é a base desse triângulo maior?
Bem, essa é a circunferência trigonométrica, certo?
Então a distância daqui até aqui-- essa distância
vale também 1, certo?
Porque é o raio.
Vale 1.
Então cateto oposto sobre adjacente é igual a tangente de x.
Mas o cateto adjacente vale 1, certo?
Então o cateto oposto, esse aqui, vai valer
tangente de x.
Ou, podemos dizer que tangente de x é igual a
esse lado sobre 1, ou tangente de x é igual a esse lado.
Então, deixe-me escrever isso.
Esse lado é igual a tangente de x.
.
Agora, vamos pensar na área de algumas partes dessa
figura que eu desenhei.
Eu deveria ter desenhado maior, mas
assim vai dar.
Primeiro, vou pegar um triângulo pequeno.
Vamos pegar esse aqui.
Vou tracejar o triângulo de verde.
Então esse triângulo que estou tracejando de verde,
qual é a área dele?
Vai ser 1/2 vezes a base vezes a altura.
É 1/2 vezes a base, que vale 1.
Certo?
É esse triângulo todo.
Então qual é a altura do triângulo?
Acabamos de descobrir que essa altura aqui
vale sen(x).
vezes sen(x).
.
É esse triângulo verde aqui, certo?
Agora, qual é a área do-- não do verde.
Deixe-me fazer em outra cor.
Vou fazer em vermelho.
Qual é a área desse setor?
Esse setor circular aqui.
Esse setor.
Essa não é uma cor diferente.
Então, esse setor aqui.
Vou tracejar.
por cima do arco.
então é um pouco maior que o triângulo
que acabamos de ver, certo?
vai sempre ser um pouco maior, porque
o setor inclui essa área entre o triângulo e o arco, certo?
Qual é a área desse setor?
?
Bem, se esse ângulo é x-- em radianos-- qual parte
o setor representa de todo o círculo?
Bem, uma volta completa vale 2pi radianos, certo?
então essa área será igual a quanto?
será igual a fração de x sobre o total
de radianos de uma volta, certo?
Então é x radianos sobre 2pi radianos
da volta completa.
Essa é a proporção do setor--
--se fosse em graus-- seria sobre 360
graus, vezes a área do círculo, certo?
Isso nos dá a proporção do setor em relação ao círculo
então vamos multiplicar pela área
do círculo.
qual é a área do círculo?
a área vale pi vezes o raio ao quadrado, que é 1, certo?
então a área vale apenas pi.
.
pi vezes r ao quadrado, r é 1, então a área
do setor aqui será igual a--
-- cancelando os pi-- igual a x sobre 2.
Então o primeiro triângulo pequeno, o verde
tem área igual a
metade de seno de x, é a área do triângulo verde.
Então a área do setor-- acabamos de ver
-- que vale x sobre 2.
Agora vamos calcular a área do triângulo maior.
desse triângulo grande aqui.
E esse é o mais óbvio.
1/2 vezes a base vezes a altura.
1/2-- a base vale 1-- 1 vezes
a altura, que é tangente de x.
a área vale metade da tangente de x.
agora, fica claro olhando para a figura que
não importa a abertura do ângulo x, o triângulo verde
sempre terá área menor que o setor, que tem área menor
que o triangulo grande.
certo?
Vamos escrever essa inequação.
O triângulo verde-- a área do triângulo verde--
vale metade do seno de x, é a área do triângulo verde
que é menor que a área do setor.
que é x sobre 2.
que é menor que a área do triângulo
grande, certo?
que vale a metade de x.
.
Agora, quando isso é verdade?
Isso vale para x no primeiro quadrante, certo?
enquanto estivermos no 1° quadrante.
é também quase verdade se estivéssemos no 4° quadrante,
exceto que o sinal de seno de x é negativo,
a tangente de x é negativa e x também é negativo.
mas se pegarmos o valor absoluto,
a inequação também vale no 4° quadrante.
Para x negativo, se você usar as medidas em módulo
continua valendo as distâncias
e as áreas continuam positivas.
Como meu objetivo é pegar o limite para x tendendo a zero,
e eu quero pegar esse limite-- para que o limite
seja definido, ele deve ser verdadeiro tanto pelo lado positivo
quanto pelo negativo.
vamos pegar o valor absoluto dos dois lados.
espero que isso faça sentido para você.
se eu fizesse o mesmo desenho para x negativo
esse seria o sen(x), e essa a tan(x)-- enquanto
você usar o módulo, você está
fazendo a mesma coisa que no 1° quadrante.
então vamos usar o valor absoluto para tudo.
e isso não muda nada, especialmente se
você está no 1° quadrante.
e você deve refletir sobre o porquê
também não muda nada para o 4° quadrante.
então temos a inequação.
Vamos ver o que conseguimos fazer.
primeiro, vamos multiplicar tudo por 2.
para nos livrarmos dos 1/2's.
então módulo de sen(x) é menor que
módulo de x, que é menor que módulo da
tangente de x.
Espero que você não tenha se confundido por causa dos módulos.
A inequação original era totalmente válida
para o 1° quadrante, mas como queremos que seja válida para
o 1° e o 4° quadrantes, porque estou pegando
o limite para x tendendo a 0 dos dois lados,
eu usei o módulo.
Você poderia desenhar o que fizemos
no 4° quadrante, mas usando
o módulo dá certo do mesmo jeito.
De volta ao problema.
Temos essa inequação.
Está acabando o espaço, então vou apagar
o que está aqui em cima.
.
Apagando.
Apagando.
.
Não , esse não apaga.
OK.
Esse sim.
OK.
Podemos apagar tudo até aqui.
Mas essa linha é importante.
Estamos com espaço agora.
OK.
Então vamos pegar essa expressão
e dividir todos os membros.
Você sabe que temos três membros, o da esquerda,
do meio, e da direita.
Vamos dividir todos pelo módulo de seno de x.
E como sabemos que o módulo de seno de x é
positivo, sabemos que as desigualdades
não mudam, certo?
Então vamos lá.
Então o módulo de seno de x dividido por
módulo de seno de x, vale 1.
.
que é menor que o módulo de x dividido por
módulo de seno de x.
.
que é menor que-- quanto é o módulo da tangente--
vou pegar o módulo de seno de x.
modulo de sen(x), módulo de sen(x).
então quanto é o módulo da tangente de x dividida pelo
módulo de seno de x?
Bem, a tangente é o seno dividido pelo cosseno.
Então isso é igual a-- vou fazer aqui.
É igual ao seno dividido pelo cosseno dividido pelo seno.
E você poderia dizer a mesma coisa
para o módulo,
e o módulo dividido pelo módulo
Então o que sobrou?
Sobrou 1 sobre-- isso cancela com
isso, que vira um 1-- 1 sobre o módulo
de cosseno de x.
Você deve sentir que estamos quase lá.
porque isso parece bastante com isso, mas invertido.
Então para chegarmos nisso, vamos inverter.
E ao invertermos, o que acontece?
Primeiro, o que acontece quando invertemos 1?
Bem, 1/1 vale 1.
Mas quando você inverte os dois lados de uma inequação, você
troca a desigualdade, certo?
E se isso não faz sentido para você, pense nisso
se 1/2 é menor que 2, ao inverter
temos que 2 é maior que 1/2.
Espero isso seja intuitivo.
Então se estou invertendo todos os membros da inequação,
tenho que mudar as desigualdades,
Então 1 é maior que o módulo do seno(x) sobre
o módulo de x, que é maior, que o módulo
do cosseno de x.
Agora, eu te pergunto:
o módulo do seno de x sobre-- bem, primeiro
o seno de x sobre x
vai haver algum instante em que o seno de x sobre x-- no
1° ou no 4° quadrante-- alguma vez o
seno de x sobre x é negativo?
No 1° quadrante, seno de x é positivo
e x é positivo
Então positivo dividido por positivo é
positivo.
No 4° quadrante, seno de x é negativo, y é
negativo, e o ângulo é negativo, então x é
negativo também.
então no 4° quadrante, seno de x sobre x será
negativo sobre negativo.
Então também será positivo.
Então seno de x sobre x sempre será positivo.
Então o sinal de módulo é redundante.
Podemos escrever que 1 é maior que seno de x sobre x.
E a mesma lógica, no 1° e 4° quadrantes--
aonde estamos trabalhando.
Estamos no intervalo menos pi sobre 2 é menor que x, que
é menor que pi sobre 2.
Então estamos entre menos pi sobre 2
e pi sobre 2.
Estamos no quarto e primeiro quadrantes.
O cosseno de x é alguma vez negativo?
Bem, o cosseno está sobre o eixo x e o eixo x-- por definição,
no primeiro e quarto quadrantes-- o valor de x
é sempre positivo.
Então se isso é sempre positivo, podemos nos livrar do
módulo aqui, e apenas escrever isso.
e agora, estamos prontos para usar o teorema "sanduíche".
deixe-me apagar tudo aqui embaixo.
.
eu te pergunto:
qual é o limite, enquanto x tende a zero, da
função constante 1?
bem, a função 1 é sempre igual a 1.
então eu posso calcular o limite quando x tende pro infinito,
quando x tende a pi, tanto faz.
sempre será igual a 1.
então enquanto x tende a zero, isso vale 1.
e então qual é o limite, enquanto x tende a zero, do cossseno de x?
bem, esse é fácil também.
enquanto x tende a zero, cosseno de zero vale 1-- e como
é uma função continua-- o limite vale 1.
Estamos prontos para usar o teorema "sanduíche".
enquanto x tende a zero, essa
função tende a 1.
essa função tende a 1.
e essa função, essa expressão, está
no meio das duas.
e, se está no meio da duas, ao tomarmos o limite--
esse tende a 1 para x tendendo a zero, esse tende a 1 para
x tendendo a zero, e isso está no meio dos dois, então isso também
tende a 1 para x tendendo a zero.
estamos usando o teorema "sanduíche" baseados nisso e nisso.
E você pode dizer, portanto, pelo teorema "sanduíche"
como isso é verdade, isso é verdade e isso é verdade
seno de x sobre x, o limite enquanto x tende a zero vale 1.
espero que isso tenha te dado uma intuição.
outro modo de ver isso, enquanto essa linha fica menor e
menor para x tendendo a zero, essa
área e essa área convergem, assim a área do meio
converge nas duas.
e se você quiser ver isso graficamente
eu fiz o gráfico.
deixe-me ver se eu pego o gráfico aqui.
vou mostrar o gráfico.
para você acreditar em mim.
nós dizemos que 1 é sempre maior que seno de x sobre x
que é sempre maior que cosseno de x, entre menos pi
sobre 2 e pi sobre 2.
e claro, isso não é definido para x igual a zero.
mas podemos descobrir o limite.
aqui está
essa linha azul é a função 1
esse y vale 1
essa linha azul clara é o cosseno de x
e esse é o gráfico de seno de x sobre x
e você pode ver que foi isso que eu digitei aqui.
então seno de x sobre x, entre menos pi sobre 2 e pi sobre
2, ou no 4° e no 1° quadrantes, a linha vermelha
está sempre no meio.
está sempre no meio da azul escura e da azul clara.
e, portanto, essa é uma intuição do que acontece
com o teorema "sanduíche"
nós sabemos que o limite, enquanto essa linha azul clara
tende para zero, vale 1.
e sabemos que o limite, enquanto essa linha azul escura
tende a zero, vale 1.
e essa linha vermelha está sempre no meio
então ela também tende a 1
então é isso
a prova, usando o teorema "sanduíche", e um pouco
de geometria, do porquê para x tendendo a zero,
seno de x sobre x tende a 1.
espero nao ter te confundido.