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No último video, apresentamos um argumento
do porquê três à potência de dois negativo
deve ser equivalente a um sobre três à segunda potência positiva.
Eu agora quero usar um argumento similar,
mas quero fazer isto para bases e expoentes gerais.
Então em particular, eu quero pensar sobre o que
a à potência de b, ou em particular,
o que a à potência negativa de b deve ser igual.
Então sabemos que queremos usar a propriedade
que, se tivermos a base elevada a um expoente
e isto sendo multiplicado por aquela mesma base elevada
a um outro expoente, isto iria apenas
somar os dois expoentes.
Então apenas para deixar claro, queremos manter esta propriedade,
que a à potência de b vezes a à potência negativa de b
deve ser igual a b mais potência de b negativo,
que obviamente será
igual a a à potência de zero.
E contanto que a não seja igual a zero,
deveria ser igual a um.
Deixe-me escrever isso-- para a não ser igual a zero.
Então em geral-- na verdade só vou copiar e colar isto-- a
para b vezes a para b negativo-- copio
e colo-- deve ser igual a um.
Então isto aqui precisa ser igual a um.
E se quisermos pensar a respeito, quanto é a para b negativo?
Apenas dividimos ambos os lados por a para b.
E obteríamos a para b negativo.
Tenho mantido as cores consistentes este tempo todo.
Tenho que continuar.
a para b negativo é igual a um sobre a para b.
E então eu só quero revisar isto.
E é muito importante ter em mente
porque quando você vê alguma coisa como uma base
ao expoente negativo, existe a tentação
de, de alguma forma, introduzir um número negativo.
Mas para um expoente negativo
você deve fazer o inverso.
Então você está pegando o inverso deste número elevado
à base positiva.
E acabamos de mostrar o argumento
de que se quisermos que esta propriedade seja verdadeira--
e muitas das propriedades de expoentes
dependem de mantermos a consistência, mantendo
as velhas propriedades como verdadeiras conforme introduzimos
novas definições e novas propriedades--
e vemos que se quisermos que isso seja verdade,
então a para b negativo deve ser um sobre a para b.
E em outros vídeos vamos mostrar outras motivações
sobre porque um expoente negativo é essencialmente definido desta forma.
Mas agora que vimos isto como verdadeiro,
para qualquer número que não zero a e qualquer b,
vamos fazer alguns exemplos.
E na verdade, vamos pensar sobre o tamanho destes números.
Então por exemplo-- e deixe-me introduzir novas cores
aqui.
Eu disse que introduziria novas cores,
e não fiz-- se eu fosse pegar cinco à terceira potência,
sabemos que é cinco vezes cinco vezes cinco.
É igual a cento e vinte e cinco.
É um número grande.
Agora quanto deveria ser cinco à potência negativa de três?
E eu aconselho você a pausar este vídeo
e pensar sobre isso antes de eu te dizer.
Utilize o que eu acabei de te contar.
Quanto deveria ser cinco à potência negativa de três?
Bom, eu presumo que você tenha pausado o vídeo.
Então isto será igual a um sobre cinco
à potência positiva de três que é igual a um sobre cento e vinte e cinco.
Então isto é bem interessante.
Cinco à terceira foi um número razoavelmente grande.
While 5 to the negative 3, it wasn't a negative number. Enquanto cinco à três negativo, não era um número negativo.
Ainda é um número positivo, mas ainda é um número bem pequeno.
É um sobre cento e vinte e cinco.
Vamos resolver mais dois exemplos.
Vamos dizer que eu pegaria meio negativo,
e elevaria isto à terceira potência.
Quanto vai dar isso?
Bom, é meio negativo vezes meio negativo vezes
meio negativo, que, claro,
será igual a um oitavo negativo.
Agora quanto deve ser meio à terceira potência negativa
baseado em tudo que acabamos de conversar?
E mais uma vez, eu aconselho você a pausar este vídeo
e pensar sobre isso.
Bom, deveria ser igual a um sobre meio negativo
à potência de três positiva.
Bom, acabamos de descobrir quanto é isso.
Meio negativo à potência positiva de três é um oitavo negativo.
Isto tudo aqui deve ser igual
a um oitavo negativo.
Então será igual a um sobre um oitavo negativo.
E isso será igual a quanto?
Bom, é igual a um vezes o inverso
deste denominador aqui.
Então é um vezes oito negativo, que
será igual a oito negativo.
Então isto é interessante.
Normalmente quando você pega um número que o valor absoluto é
menor que um e você eleva isso a maiores expoentes,
obtém um menor e menor e menor.
Quando você multiplica tanto um meio positivo quanto negativo vezes
meio vezes meio, sua magnitude, seu valor absoluto,
normalmente vai ser menor e menor e menor.
Mas agora, quando você eleva isto ao expoente negativo,
seu valor absoluto ficará maior e maior e maior.
E isto é porque, mais uma vez, você está pegando o inverso.
O ponto importante que eu quero enfatizar aqui
é que você não deve ver este negativo
igual quando você pensa sobre multiplicação negativa.
Note, este negativo não muda
o sinal de qual é o valor eventual.
Você obtém um oitavo negativo.
Obtém oito negativo.
O que isto fez foi mudar a magnitude.
Então isto é um oitavo negativo.
Quando você pegou à terceira potência negativa,
você pegou o inverso disto, que é oito negativo.