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Para explicar a transformada Z, iremos voltar um pouco na história.
Tudo começa com as funções geradoras, que foram introduzidas por Abraham de Moivre em 1730
com o intuito de solucionar de forma linear problemas de relação de recorrência.
de Moivre era um matemático Francês, que ficou famoso por descobrir a fórmula de de Moivre,
que lincava números complexos e trigonometria, e por suas contribuições a teoria de probabilidade.
Um fato interessante é que, através de cálculos matemáticos, ele acertou o dia que iria morrer.
Podemos encarar uma função geradora como sendo uma forma de conectar elementos de uma sequência,
através de um polinômio. Este polinômio tem como coeficientes os valores de interesse.
As funções geradoras, em geral, são usadas para:
Encontrar fórmulas fechadas para uma sequência de uma relação de recorrência.
Achar relações de recorrência para sequências.
Encontrar relações entre sequências.
Resolver problemas de contagem de matemática combinatória.
Resolver somas infinitas.
Facilitar manipulação de variáveis aleatórias: cálculos de momentos e convoluções, por exemplo.
Entre outras aplicações.
Nesse ponto, é útil fazer uma analogia entre funções geradoras e varais de roupa.
Considere várias roupas em uma cesta.
Enquanto as roupas estão na cesta, é difícil dividí-las ou organizá-las.
Ao pendurarmos as roupas no varal, por outro lado, podemos facilmente manipulá-las.
De forma análoga, se temos uma sequência de números, tratá-los de forma isolada pode ser difícil.
É aí que a função geradora pode vir ao nosso socorro.
A função geradora funciona como um varal, onde penduramos os números.
Ao pendurarmos os números como coeficientes de um polinômio, podemos mais facilmente manipulá-los.
Vejamos uma aplicação de função geradora.
Imagine 2 jogadores. O primeiro tem 3 cartas na mão, com valores 2, 2 e 3 respectivamente.
E o segundo jogador tem 4 cartas na mão, com valores 3, 4, 4 e 5 respectivamente.
O jogo se baseia em cada jogador escolher aleatoriamente uma carta para cada jogar
e acertar qual será a soma das cartas jogadas na mesa.
P1(z) = 2/3 zˆ2 + 1/3 zˆ3
Podemos representar a seleção da carta do primeiro jogador pelo seguinte polinômio:
Neste caso, o coeficiente do termo de expoente 2 representa
a probabilidade de ser escolhida uma carta com valor 2
e o coeficiente do termo de expoente 3 representa a probabilidade de ser escolhida uma carta com valor 3.
Fazendo a analogia com o varal
Da mesma forma, temos para o segundo jogador o seguinte polinômio:
P2(z) = ¼ zˆ3 + ½ zˆ4 + ¼ zˆ5
Que podemos fazer a mesma analogia com o varal
Perceba que podemos combinar todas as possibilidades de jogadas através dos expoentes dos polinômios.
Uma possível jogada é o jogador escolher a carta 2 e o outro jogador escolher a carta 3.
Ao multiplicar os termos correspondentes, obtemos 2/12*z^5.
Observe que o novo expoente representa a soma das cartas selecionadas.
Note ainda que os coeficientes adquirem o valor da probabilidade do lançamento das cartas em questão,
já que a probabilidade de dois eventos ocorrerem é dada pelo produto das probabilidades,
caso estes eventos sejam independentes.
Generalizando este raciocínio, vemos que para calcularmos a probabilidade de cada soma possível das cartas selecionadas,
podemos multiplicar os polinômios.
Assim, achamos uma nova funcao geradora. Usando essa nova função geradora podemos ver, por exemplo,
que a maior probabilidade é que saia uma soma 6 nas cartas e esta probabilidade é de 5/12, ou seja, aproximadamente 42%.
Repare que essa soma 6 pode ser obtida com as combinações: 3 e 3 ou 4 e 2,
note que a probabilidade de ocorrer o evento 3 e 3 é de:
1/3 * 1/4 = 1/12
e que a probabilidade de ocorrer o evento 4 e 2 é de:
2/3 * 1/2 = 2/6,
logo se queremos a probabilidade de ocorrer soma 6, que pode ser obtido por qualquer um dos 2 eventos,
devemos somar as probabilidades de cada um desses eventos ocorrerem, que resulta em 1/12 + 2/6 = 5/12.
Note, que essa probabilidade de 5/12 de termos uma soma 6 na mesa também tinha sido obtida na multiplicação de polinômios
Chegamos nela quando multiplicamos o termo de expoente 3 do primeiro polinômio pelo termo de expoente 3 do segundo polinômio
e depois somamos com a multiplicação do termo de expoente 2 do polinômio 1 com o termo de expoente 4 do polinômio 2
A soma 7, por exemplo, poderia ser obtida das seguintes formas: 2 e 5 ou 3 e 4.
Igualmente ao caso anterior, temos que a probabilidade do primeiro evento ocorrer é 2/3*1/4 = 2/12,
e a probabilidade do segundo evento ocorrer é:
1/3*1/2 = 1/6,
logo a probabilidade de obtermos a soma 7 é de 4/12.
Da mesma forma, essa probabilidade também foi encontrada na multiplicação de polinômios.
Dadas duas variáveis aleatórias quaisquer, a soma destas duas variáveis é também chamada de convolução das duas variáveis.
e depois somamos com a multiplicação do termo de expoente 3 do polinômio 1 com o termo de expoente 4 do polinômio 2.
A operação que acabamos de fazer para calcular a distribuição de probabilidades da soma das cartas é chamada de convolução.
Como acabamos de ver, a convolução pode ser facilmente calculada
multiplicando as respectivas funções geradoras das distribuições que queremos somar.
Vamos analisar com mais detalhes o exemplo que acabamos de apresentar.
Foram fornecidas duas distribuições de entrada,
e a partir de cada uma destas distribuições escrevemos um polinômio.
No contexto de probabilidades, esse polinômio, ou função geradora, tem um nome especial.
Ele é chamado de transformada Z.
Se P(N=0)=p_0, e P(N=1)=p_1, e assim por diante, então, construímos um polinômio tal que
Se P(N=0)=p_0, e P(N=1)=p_1, e assim por diante, então, construímos um polinômio tal que
o coeficiente de z^0 será p_0, e o coeficiente de z^1 será p_1 e assim por diante.
A transformada Z, como qualquer função geradora, se trata de um polinômio,
cujos coeficientes são valores de interesse.
No caso, esses valores de interesse são as probabilidades da variável aleatória.
Analisando a transformada podemos perceber que ela pode ser interpretada como
a esperança de um número complexo z elevado a nossa variável aleatória de interesse.
Nós mostramos como, a partir de uma variável aleatória, podemos calcular sua transformada,
mas e se quiséssemos o contrário, ou seja,
a partir da transformada calcular as probabilidades de uma variável aleatória assumir um certo valor?
Nesse caso, obtemos as probabilidades derivando a transformada e igualando z a 0.
Por exemplo, para achar a probabilidade de N=0, basta igualarmos z a 0 na formula.
Para obtermos P(N=1), precisamos fazer uma derivação em z e em seguida igualá-lo a 0.
Para P(N=2), fazemos duas vezes a derivação e depois igualamos z a 0.
Generalizando, podemos obter P(N=n), derivando n vezes e em seguida igualando z a 0.
Para ilustrar mais um uso da transformada, vamos calcular a transformada da Poisson.
É possível achar a transformada Z através de cálculos.
Realizando os calculos, a transformada Z da poisson é igual:
Iremos utilizar esse resultado mais adiante.
Mas antes vejamos o que acontece se derivarmos a transformada Z da poisson em relação a z.
Como já vimos, a transformada Z de uma distribuição se trata da esperança de um numero z elevado a variável aleatória correspondente.
Podemos ver então que, se derivarmos a transformada Z em relação a z, iremos obter a seguinte expressão.
Agora podemos nos valer do fato da propriedade de que qualquer potencia de base 1 é 1 para obtermos o primeiro momento.
De forma análoga, derivando a transformada Z uma segunda vez em relação a z e sabendo o valor do primeiro momento, obtemos o segundo momento.
com o primeiro e segundo momento, podemos calcular a variância.
A transformada também oferece uma forma fácil de mostrar que a soma de 2 fluxos de poisson resulta em um fluxo de poisson.
Usando a formula da transformada Z da Poisson que acabamos de calcular,
podemos calcular a transformada Z da variável aleatória que representa a soma de duas distribuições de poisson independentes.
No resultado que acabamos de achar, podemos perceber que é justamente uma distribuição de Poisson com taxa igual a soma das taxas.
Como foi visto anteriormente no caso de funções geradoras,
a transformada Z permite o cálculo de convoluções.
Usando o exemplo para a convolução de n fluxos de poisson teremos uma transformada Z de uma Poisson com taxa igual a soma das taxas desses fluxos.
Nesse vídeo, aprendemos um pouco mais sobre a história das funções geradoras
e como elas são uma ferramenta poderosa da matemática.
Em particular, focamos numa função geradora especial, associada a variáveis discretas,
a chamada de transformada Z.
Esperamos que tenha ficado claro como que a transformada Z é útil para o cálculo de momentos e convoluções de variáveis aleatórias,
e que você agora esteja pronto para aprender mais sobre a transformada Z e fazer uso dela quando necessário.
Chegamos nela quando multiplicamos o termo de expoente 2 do primeiro polinômio com o termo de expoente 5 do segundo