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Eles nos pedem para encontrar primeiro o foco e a diretriz
da parábola movendo o ponto e a linha
laranja para suas posições corretas,
usando a seguir estas informações para descobrir
a equação da parábola.
Vamos fazer primeiro uma pequena revisão,
uma parábola é uma seção cônica que
é formada por todos os pontos que
são equidistantes a algum ponto que chamamos
de foco e a alguma linha que chamamos de diretriz.
E, o que temos aqui-- o que
isto é, à medida que nos movemos ao longo da parábola,
à medida que movemos o cursor ao longo da parábola
aqui, ele olha para a distância onde
o ponto atual está e depois ele tenta
plotar a mesma distância para alguma diretriz teórica.
E é neste ponto que esta linha vai para baixo.
E, vocês podem ver claramente agora
que isto não está funcionando, que isto não é equidistante.
Assim, a primeira coisa que devemos fazer quando estamos tentando descobrir
onde está o foco, é que a parábola
seja simétrica ao redor do foco,
ou pelo menos ao redor da linha vertical sobre a qual está o foco,
eu diria.
Assim, o foco estará logo acima do vértice.
Portanto, esta é a primeira coisa a fazer.
Vou continuar manipulando-a.
Seu eu olhar aqui para baixo-- e é
difícil fazer isto porque quando eu movo o cursor
esta coisa verde desaparece-- mas, se vocês olharem
para esta linha verde vertical, que não devia estar se movendo--
a parte inferior dela não deveria estar se movendo para cima e para baixo.
Ela deveria ser equidistante para uma linha horizontal.
Vou continuar a movê-la.
Parece que melhorou agora.
Vamos ver.
Agora parece bem melhor.
Observem a parte inferior-- oops-- observem
que a parte inferior da linha verde vertical
não está se movendo na direção vertical.
Ela está se movendo na direção horizontal.
Assim, se eu mover minha diretriz aqui para cima, isto deve funcionar.
Vou movê-la então para cima.
E, pronto.
Observem agora a minha parábola-- estas linhas verdes
mostram a distância para o foco e a distância
para a diretriz, e observem que elas sempre são iguais.
Parece então que eu tenho o foco correto e a diretriz correta
agora.
Eu tenho agora o foco correto e a diretriz correta.
E o foco é 1/4 vírgula 3/8 negativo.
E a diretriz é y é igual a 5/8 negativo.
Vamos tentar agora usar esta informação
para descobrir a equação da parábola nesta forma
logo aqui.
Isto vai envolver algum trabalho de álgebra.
Vou copiar e colar isto.
Vou copiar e colar isto
para que saibamos do que precisamos, e
vou abrir meu bloco de rascunho.
Certo.
Estas são as nossas informações, e nós
precisamos descobrir a equação da parábola.
Vamos revisar um pouco, temos o ponto.
Digamos então que este é o nosso ponto.
Este é o nosso foco-- ele é o ponto 1/4 vírgula 3/8 negativo.
E, depois, temos a diretriz em y é igual a 5/8 negativo.
Então, a diretriz se parece com algo assim.
Isto é y é igual a 5/8 negativo.
E, depois, temos a nossa parábola.
E ela se parece com algo assim.
Ela é equidistante aos 2, então nossa parábola
se parecerá com algo assim.
E, a parábola, os x e y que satisfazem esta equação
são todos os x e y que são
equidistantes a estas duas coisas.
Vamos chamar isto de x vírgula y.
Vamos encontrar agora uma equação para todos os x e y que
são equidistantes a este ponto e a esta linha
logo aqui.
Vamos pensar primeiro sobre a distância entre este foco
e este x, y aqui.
Bem, esta distância é calculada com base na fórmula
da distância baseada no teorema de Pitágoras.
Ela será x menos 1/4 ao quadrado
mais y menos 3/8 negativo ao quadrado.
Então, isto será y mais 3/8 ao quadrado.
Poranto, esta é a nossa distância ao quadrado.
Nós poderíamos calcular a raiz quadrada se nós-- por que não fazemos isto?
Então, vamos calcular a raiz quadrada.
Então, esta é a distância entre qualquer ponto na parábola x,y
e o foco.
E a distância entre este mesmo ponto e a diretriz--
bem, ela será apenas uma linha reta, vertical.
Então, isto será a nossa diferença em y.
Assim, isto será igual a y menos 5/8 negativo,
que é a mesma coisa que y mais 5/8.
E, para garantir que isto seja sempre positivo,
vou elevar ao quadrado e depois calcular a raiz quadrada.
Agora, para simplificar isto, nós poderíamos calcular a raiz
quadrada dos dois lados desta equação.
E obtemos x menos 1/4 ao quadrado mais y--
vou expandir isto um pouco,
porque ela será útil para nós daqui a pouco,
então vou expandir.
Isto será então y ao quadrado mais-- vamos ver,
2 vezes 3/8 é 3/4-- assim mais 3/4y mais 9/64 é
igual a esta coisa ao quadrado que é y-- bem, vou
expandir esta também.
Então, temos y ao quadrado mais 2 vezes 5/8 será 5/4.
5/4y mais 25 sobre 64.
Vamos ver agora se conseguimos simplificar isto.
Tenho y ao quadrado nos dois lados,
então posso cancelar estes termos.
Assim, y ao quadrado, y ao quadrado.
Vou subtrair 3/4y dos dois lados.
Vou subtrair também 9/64 dos dois lados.
Menos 9/64.
Menos 9/64.
Vamos aumentar um pouco o espaço.
Então, isto vai desaparecer e isto vai desaparecer.
Nosso lado esquerdo vai ser simplificado
para x menos 1/4 ao quadrado.
E, isto será igual a-- vejamos.
5/4 menos 3/4 é 2/4, que é a mesma coisa que 1/2y.
E, 25/64 menos 9/64 é 16/64,
que é a mesma coisa que 1/4.
Então, aqui será mais 1/4.
Estamos quase chegando lá.
Temos este x menos 1/4 ao quadrado.
Nós só precisamos obter um coeficiente aqui e escrever
isto em termos de y menos alguma coisa.
Então, o que podemos fazer aqui
é fatorar um 1/2.
Vamos fazer isto.
Então, isto será x menos 1/4 ao quadrado é
igual a-- fatorando um 1/2, é 1/2 vezes y mais 1/2.
Agora, para colocar isto na forma que eles desejam,
eles têm y menos alguma coisa aqui
e depois alguma coisa vezes x menos alguma coisa ao quadrado.
Então, precisamos passar este 1/2 ou este coeficiente
para o outro lado.
A forma mais fácil de fazer isto na minha opinião
é multiplicar os dois lados por 2.
Multiplicamos então os dois lados por 2.
Estes se cancelam.
E, se realmente quisermos colocar isto na forma
que eles desejam, nós podemos trocar os lados.
Em vez de escrever y mais 1/2, nós
podemos escrever y menos 1/2 negativo.
Isto é a mesma coisa que y mais 1/2--
vou fazer isto na mesma forma
que eles desejam-- é igual a 2 vezes x menos 1/4 ao quadrado.
Vamos ver.
Eu fiz certo?
Sim.
y menos 1/2 negativo é a mesma coisa que y mais 1/2
é igual a 2 vezes x menos 1/4 ao quadrado.
Vamos ver se isto realmente está certo.
Vejamos.
É 1/2 negativo aqui, 2 positivo, e depois 1/4.
Então, temos 1/2 negativo, 2 positivo, e depois 1/4.
Vamos ver se acertamos.
Acertamos.