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Vamos ver se aprendemos alguma coisa sobre expansão
de fração parcial, ou o que ás vezes é chamada de
decomposição de fração.
A idéia é pegar funções racionais -- e uma
função racional é só uma função ou expressão onde
é uma expressão dividida por outra -- e basicamente
expandi-las ou decompor em partes mais simples.
E a primeira coisa que você tem que fazer, antes mesmo de
começar o processo de expansão da fração, é
ter certeza de que o numerador tenha um grau menor
do que o denominador.
Nest situação, o problema, que esbocei aqui,
eu escrevi aqui, não é o caso.
O numerador tem o mesmo grau que o denominador.
Então o primeiro passo é simplificar isto e chegar no
ponto onde o numerador tem um grau mais baixo que
o denominador, é fazer um pouco de
divisão algébrica.
E eu fiz um vídeo sobre isso, mas não faz mal dar
uma revisada, então para fazermos isso, dividimos o denominador no
numerador para determinarmos o resto, então dividimos x
ao quadrado menos 3x menos 40 em x ao quadrado menos 2x menos 37.
Então, quantas vezes ?
Você olha para o termo com de maior grau, então x ao quadrado vai em x
ao quadrado uma vez, uma vez tudo isso é x ao quadrado
menos 3x menos 40, e agora você subtrai isto
daquilo para chegar no resto.
E veja, se eu estou subtraindo, eu vou subtrair e então
menos menos é mais, um mais, e aí você pode somar.
Este se cancelam.
Menos 2x mais 3x, isso é x.
Menos 37 mais 40, isso é mais 3.
Então esta expressão aqui pode ser escrita como -- vou
descer um pouco -- como 1 mais x mais 3 sobre x ao quadrado
menos 3x menos 40.
Isto pode parecer como algum tipo de mágico, mas
não é diferente daquilo que você fez na quarta ou na quinta
série, onde você aprendeu a converter frações regulares
em números mistos.
Vou fazer um exemplo a parte aqui.
Se eu tivesse 13 sobre 2, e eu quiser transformá-lo num número misto,
você -- você provavelmente pode fazer isso de cabeça -- mas
você divide o denominador no numerador,
como fizemos aqui.
2 entra em 13.
Vemos que 2 entra em 13 seis vezes, 6 vezes 2 é 12, você
subtrai isso disto, e tem resto de 1.
2 não entra em 1, então isso é só o resto.
Então se você quer reescrever isto, seria o número de
vezes que o denominador entra no numerador, isso é 6, mais
o resto sobre o denominador.
Mais 6 -- mais 1 sobre 2.
E quando você fez isso no ginásio, você
escreveu 6 e meio, mas 6 e meio é a mesma coisa que 6 mais meio.
Isso é a mesma coisa que fizemos aqui.
O denominador foi para o numerador uma vez, e depois
tinha um resto de x mais 3, então é 1 mais x
mais 3 sobre esta expressão.
Agora vemos que esse numerador nesta expressão racional
tem um grau mais baixo que o numerador.
O grau mais alto aqui é 1, o grau mais alto aqui é 2,
então podemos começar a nossa decomposição de fração parcial.
E isso é só pegar esta expressão aqui e transformá-la
em duas expressões mais simples onde os denominadores são
os fatores deste termo mais baixo.
Então, com isso, vamos fatorar este temor mais baixo.
Vamos ver.
Quais dois números somam menos 3, e quando você multiplica
você tem menos 40 ?
Vamos ver.
Eles tem que ter sinal diferente porque quando você
multiplica, você tem um negativo, então tem
que ser menos 8 e mais 5.
Então podemos re-escrever isso aqui como -- vou mudar de cor --
1 mais x mais 3 sobre x mais 5 vezes x menos 8.
5 vezes 8 é menos 40 -- 5 vezes 8 negativo é menos 40, mais 5
menos 8 é menos 3, então pronto.
Agora vou me concentrar nesta parte.
Podemos lembrar que 1 está bem
ali na frente.
Esta é a expressão que queremos decompor ou expandir.
E vamos expandi-la em duas expressões mais simples
onde cada um destes é um denominador -- e vou fazer
a declaração, e se os números funcionarem, então a declaração
é verdadeira -- faço a declaração de que posso expandir isto, ou decompor
isto, em duas frações onde a primeira fração é só
um número a sobre o primeiro fator sobre x mais 5, mais um
número b sobre o segundo fator, sobre x menos 8.
essa é a minha declaração, e se eu posso solucionar a e b de maneira que
que realmente chegue nesta soma, então consegui e
decompus esta fração completamente.
Acho que é assim -- não sei se essa é a
terminologia correta.
Então vamos tentar isso.
Se eu somasse estes dois termos, o que vou ter ?
Quando você soma qualquer coisa, você acha o denominador comum, e o
denominador comum, o denominador comum mais fácil, é
multiplicar os dois denominadores, então vou escrever isso aqui.
Então a sobre x mais 5 mais b sobre x menos 8 é igual a --
bom, vamos tirar o denominador comum -- é igual a
x mais 5 vezes x menos 8.
E o termo a nós -- a sobre x mais 5 é a mesma coisa
que a vezes x menos 8 sobre isto tudo.
Que dizer, se eu escrevi isto aqui, você simplesmente
cancelaria estes dois termos e e você teria a sobre x mais 5.
Aí você poderia somar isso ao denominador comum, x mais
5 vezes x menos 8, e seria b vezes x mais 5.
É importante entender que, veja.
Este termos é exatamente a mesma coisa que este termo se você
cancelar o x menos 8, e este termo é exatamente a mesma
coisa que este termo se você cancelar o x mais 5.
Mas agora que temos um denominador comum, podemos somar
isto junto, então temos -- vou escrever o lado esquerdo
aqui -- a sobre x mais 5 -- desculpe,
quero escrever isso aqui.
Quero escrever x mais 3 sobre mais 5 vezes x menos 8 é igual
a é igual a soma destas duas coisas aqui em cima.
a vezes x menos 8 mais b vezes x mais 5, tudo isso sobre
o denominador comum, x mais 5 vezes x menos oito.
Então os denominadores são os iguais, sabemos isso,
quando você soma isso, você tem isso.
Então se queremos solucionar a e b, vamos definir
a igualdade.
Podemos ignorar os denominadores.
Podemos dizer que x mais 3 é igual a a vezes x menos
8 mais b vezes x mais 5.
Agora, temos duas formas de solucionar a e b
a partir daqui.
Uma forma é a como me ensinaram na sétima ou na oitava
série, que normalmente demora um pouco mais, e
tem a forma rápida de fazer isso e nunca dói fazer a
da forma rápida primeiro.
Se você quer solucionar a, vamos escolher um x que
faça este termos desaparecer.
Então qual x faria este termo desaparecer ?
Bom, se eu disser x é menos 5, então isto vira zero, e
então b desaparece.
E se dissermos que x é menos 5 -- estou escolhendo qualquer x para
poder solucionar isto -- então isto seria menos 5
mais 3 -- vou só escrever isto, menos 5 mais 3,-- é igual
a a vezes menos 5 menos 8 -- vou escrever isto,
menos 5 menos 8 -- mais b vezes menos 5 mais 5.
E eu peguei o menos 5 para tornar esta expressão zero.
Então você tem -- vou pegar uma cor mais forte -- menos 5 mais
3 é menos 2, é igual a -- o que é isso ? -- menos 13a
mais -- isto é zero, certo ?
Isso é zero.
Menos 5 mais 5 é zero, zero vezes v é zero, e então você divide os dois
lados por menos 13, você tem -- os negativos se cancelam -- você tem
2 sobre 13 é igual a a, e agora podemos fazer a mesma coisa
aqui encima e nos livrar dos termos a fazendo com que x seja igual a 8.
Se x é igual a 8, você tem x mais 3 é igual a 11, é igual a
a vezes zero mais b v exes -- o que é 5 -- 8 mais 5
é -- mais b vezes 13.
O be deles parece um pouco com 13.
E então você tem 11 é igual a 13b, dividimos os dois lados por 13,
você tem b é igual a 11 sobre 13.
Então conseguimos solucionar nossos a's e nossos b's.
E agora podemos voltar na nossa equação original.
e podemos dizer, uau,
Isto tem que ser igual a 2 sobre 13, e isto tem que ser
igual a 11 sobre 13.
Então o nosso original, a coisa original que escrevemos
aqui, pode ser decomposta em 1, este 1 aqui, mais
isto, que é 2 sobre 3 -- vou escrever isto assim
por enquanto -- 2 sobre 13, sobre x mais 5.
Você pode trazer o 13 aqui para baixo se quiser escrever
de maneira a não ter uma fração sobre uma fração.
Mais 11 sobre 13 vezes -- sobre x menos 8.
E mais uma vez, você pode trazer o 13 para baixo para não ter
uma fração sobre fração.
Mas conseguimos decompor isto bem -- não
quero dizer que simplificamos,
porque você pode dizer, oh, nós temos só uma expressão aqui,
e agora eu tenho três -- mas eu reduzi o grau tanto dos
numeradores como dos denominadores.
E você pode dizer, bom, Sal, porque eu teria
que fazer isso ?
E você está certo.
Na álgebra você provavelmente não precise.
Mas esta é uma técnica útil para mais tarde quando
você estudar cálculo, e na verdade, equações
diferenciais, porque muitas vezes é muito mais fácil --
e vou dizer uma palavra que você não entende -- pegar
o integral ou o anti derivativo de
algo como isto, do que algo como isto.
E mais tarde, quando você fizer transformações de Laplace invertidas, e
equações diferenciais, é muito mais fácil pegar uma transformação
de Laplace invertida de algo assim do que
algo assim.
Então, espero que eu tenha te dado mais um kit de ferramentas na sua --
ou mais uma ferramenta para o seu kit, e provavelmente vou fazer
mais alguns vídeos porque ainda não vimos todos os
exemplos de como podemos mostrar uma decomposição
parcial de fração.