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Esse vídeo foi produzido para a disciplina Avaliação e Desempenho da UFRJ.
O governo noticiou que aumentará 10 centavos por litro no preço da gasolina.
Preocupado o Sr. Fortunato resolveu calcular o quanto esse aumento impactará em seu orçamento.
Ele sabe que para ir e para voltar do seu escritório ele gasta, em média, 2.3 litros de gasolina sendo que em 20 dias por mês ele vai ao escritório.
Nos outros 10 dias do mês ele gasta em média 1.5 litros por dia.
Sabendo que o preço do litro da gasolina aumentou 10 centavos, qual será o aumento médio dos seus gastos?
Bom, podemos modelar esse problema com as seguintes variáveis aleatórias:
X é a diferença no orçamento, em reais.
W1 e L1 são os gastos em reais de um dia de trabalho e de um dia de lazer, antes do aumento.
W2 e L2 são os gastos em reais de um dia de trabalho e de um dia de lazer, depois do aumento.
Escrevemos a expressão da média de X como: (vide slide)
Não sabemos como calcular esse valor diretamente.
Devemos analisar o operador da esperança para tentar simplificar essa expressão.
Sempre bom lembrar que esperança e média são a mesma coisa.
O valor esperado E é um operador que transforma uma variável aleatória em um número real.
Para enfatizar que a esperança é uma transformação vamos denotá-la temporariamente por T.
A esperança possui uma propriedade muito especial, chamada de linearidade.
No restante deste vídeo vamos entender o que significa linearidade
e vamos então mostrar que a esperança é de fato uma transformação linear.
Finalmente, vamos indicar como que a linearidade nos permitirá resolver o problema do Sr. Fortunato
de estimar o aumento dos seus gastos mensais devido à inflação.
Sejam V e W espaços vetoriais. T de v em W é transformação linear de V em W se:(vide slide)
Dada a transformação: (vide slide)
Podemos ver que ela é uma transformação linear, ou seja, (vide slide)
Vamos usar os vetores (0,1) e (1,0) para exemplificar.
Podemos observar que antes da transformação (0,1) + (1,0) dá o vetor (1,1).
Multiplicado por 3 daria o vetor (3,3).
Agora, observamos que teríamos o mesmo resultado se multiplicássemos o vetor (1,0) por 3 e o vetor (0,1) por 3, e só então os somasse.
Na propriedade (vide slide). Temos que um vetor multiplicado por alfa e em seguida feita a transformação é a mesma coisa que aplicar a transformação e só então multiplicar por alfa.
No exemplo temos que alfa vale 1.5. De fato, (1,1) vezes 1.5 e aplicar T, é a mesma coisa que aplicar T e depois multiplicar por 1.5.
Dada a seguinte transformação: (vide slide)
Para ser linear T(0,0) tem que ser (0,0), já que: (vide slide)
No nosso exemplo não é linear, já que T(0,0) não é (0,0).
Para provar a linearidade da esperança iremos primeiro provar o Teorema Fundamental da Esperança, que consiste em:(vide slide)
Vamos definir a variável aleatória Y = g(X)
Fazendo g(X) = (x-1) ao quadrado.
Sendo x=0, x=1 e x=2 valores possíveis de x com probabilidades iguais podemos construir o gráfico com a distribuição de X.
A partir desse gráfico podemos construir a distribuição de Y.
Podemos chegar a esse resultado de outra forma.
Simplesmente alterando os valores das etiquetas de x, as transformando agora nos correspondentes em g(x) com x=2 e x=0 sendo relacionados ao 1 e x=1 relacionado a 0.
Notem que o domínio agora é g(x) pois os valores mudaram.
Fazendo o novo gráfico, mantendo as probabilidades de X=x e analisando o gráfico da probabilidade de Y=y vemos a igualdade das esperanças.
Pela análise gráfica vemos que a probabilidade de Y=y pode ser calculada utilizando a soma da probabilidade de X=x, quando utilizamos os índices que geram o y.
Este fato nos ajudará a calcular o teorema fundamental da esperança.
Como vimos no slide anterior podemos substituir a probabilidade Y=y por somatório da probabilidade de X ser igual a x.
Onde temos X variando somente entre os valores que geram Y. Temos então:
Considerando que o domínio de Y pode assumir os valores y1, y2, ….
Podemos separar o somatório por:
Como y1 é constante para o primeiro somatório, y2 é constante para o segundo somatório e assim, sucessivamente, podemos colocá-los dentro de seus respectivos somatórios.
Pela condição do somatório substituímos yi por g(x).
Como os valores válidos x do primeiro somatório são os que geram y1, do segundo y2 e assim por diante, como temos o somatório de todos eles temos o domínio completo de X.
Assim podemos escrever:
Utilizando um raciocínio análogo podemos chegar na expressão do Teorema Fundamental da Esperança para o caso de variáveis aleatórias contínuas.
Temos que a esperança pode ser calculada sendo a integral do valor que g(x) pode assumir vezes a probabilidade desse evento ocorrer.
Vamos agora a um exemplo do Teorema Fundamental da Esperança.
Definimos x a variável aleatória que calcula os resultados obtidos no lançamento de um dado.
Logo se definirmos uma variável aleatória Y tal que: (vide slide)
De posse do Teorema Fundamental da Esperança poderemos provar a linearidade do operador esperança.
Seja f(x) uma função linear, X1 e X2 variáveis aleatórias e alfa escalar: (vide slide)
Pela linearidade de f(x) podemos decompor em uma soma. (vide slide)
Podemos também separar o somatório em dois. (vide slide)
Na primeira parcela da soma podemos simplificar o somatório de x2, pois pela lei da conservação de probabilidade sua soma é 1.
O mesmo pode ser feito para o somatório de x1 na segunda parcela.
Com isso chegamos ao resultado esperado. A esperança é de fato um operador linear.
Agora vamos voltar a questão da esperança. Considere o exemplo dado: (vide slide)
Vamos analisar um exemplo onde a propriedade de linearidade da esperança é útil para o cálculo da média.
Queremos calcular o valor esperado de uma variável aleatória X que é binomial com parâmetros n e p.
Sabemos que uma variável aleatória binomial nada mais é do que a junção de variáveis de Bernoulli.
Decompondo a variável aleatória X obtêm-se n variáveis aleatórias de Bernoulli com probabilidade p. Ou seja: (vide slide)
Como curiosidade podemos citar, além da esperança, outros exemplos de operadores lineares em que a intercambialidade é útil na resolução de diversos problemas, por exemplo:
Somatório, Diferenciação e a Integração
Graças a intercambialidade, podemos manipular esses operadores de diversas formas, a ver:
A esperança da soma é a soma das esperanças.
A derivada da soma é a soma das derivadas.
A derivada da esperança é a esperança da derivada.
E assim por diante. Podemos intercambiar esses operadores a fim de simplificar o cálculo de expressões mais complicadas.
Sabendo que a esperança é um operador linear, podemos utilizar suas propriedades para simplificar nosso problema inicial do Sr. Fortunato. Vamos relembrar:
X é a diferença no orçamento, em reais.
W1 e L1 são os gastos em reais de um dia de trabalho e de um dia de lazer, antes do aumento.
W2 e L2 são os gastos em reais de um dia de trabalho e de um dia de lazer, depois do aumento.
Definimos a média de X como: (vide slide)
Pelos conhecimentos adquiridos nesse video obtemos que a esperança de X é: (vide slide)
Escrevendo T2 e L2 em função de T1 e L1 temos que: (vide slide)
Jogando os valores numéricos, temos que: (vide slide)
Ou seja, Sr. Fortunato terá um aumento no gasto da gasolina de 6 reais e 10 centavos por mês.