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O círculo é sem dúvida a mais fundamental forma no nosso
universo, quer se olhe para a forma das órbitas dos
planetas, ou se olhe para as rodas, quer se olhe para as
coisas a nível molecular.
O círculo continua a aparecer
consecutivamente.
Daí que seja interessante para nós entender algumas das
propriedades do círculo.
A primeira coisa que as pessoas descobriram sobre o círculo,
e apenas tem de olhar para a Lua para ver um círculo, mas a
primeira vez que disseram, quais são as propriedades
de qualquer círculo?
A primeira talvez tenham dito bom, um círculo
são todos os pontos que estão à mesma distância do
centro do círculo.
Todos os pontos possuem a mesma distância
até esse centro aqui.
Então uma das primeiras coisas que alguém pode perguntar é
que distância é essa, que todos os pontos possuem
até o centro?
Essa aqui.
Nós chamamos isso de Raio do círculo.
Raio é simplesmente a distância do centro até os pontos.
Se esse raio é 3 cm, então esse raio
vai ser 3 centímetros.
Esse raio vai ser 3 centímetros.
Nunca vai mudar.
Por definição, um círculo é o conjunto de pontos de mesma distância
até o ponto do centro.
E essa distância é o raio.
Agora, a segunda coisa mais interessante que as pessoas
podem dizer é, quão gordo é o círculo?
Qual a distância máxima entre os pontos mais distantes?
Ou se você preferir cortar o círculo nesse ponto de distância máxima,
que distância é essa aqui?
E não precisa ser exatamente essa aqui, eu poderia cortar
essa outra aqui, que também é a maior possível.
Eu só não iria cortar em um lugar como esse
porque aí não tem a distância máxima.
Mas há vários lugares onde eu poderia cortar
e que seria a distância máxima.
Bom, já vimos o que é o raio e vimos que a distância máxima passa
pelo centro e continua indo depois disso.
Então é, na verdade, dois raios.
Você tem esse raio aqui e também tem esse outro
raio aqui.
Nós chamamos essa distância entre os pontos mais distantes do
círculo de Diâmetro.
É isso que é o diâmetro de um círculo.
Ele tem uma relação bem simples com o raio.
O diâmetro é duas vezes o raio.
Agora, a próxima coisa mais interessante que você pode
pensar é quanto vale o comprimento do círculo?
Se você quisesse medir o comprimento do círculo
que distância seria essa?
Nós chamamos isso de Circunferência do círculo.
Bom, sabemos qual a relação entre o raio e o diâmentro, mas como
podemos relacionamos a circunferência com, digamos, o diâmetro?
Se você ainda não se acostumou com o diâmetro, é bem
simples perceber como ele se relaciona com o raio.
Bom, a milhares de anos atrás, as pessoas pegavam fitas
e mediam várias vezes circunferências e
e raios.
E vamos dizer que quando as medidas não eram tão boas,
digamos que eles mediram a circunferência do círculo
e eles obtinham algo próximo de 3.
Aí eles mediam o raio do círculo bem aqui
e o diâmetro desse círculo, então eles diziam "Oh! O diâmetro
parece ser próximo de 1".
Então eles diziam, espera aí, vou anotar aqui.
Então estamos preocupados com a relação - vou
escrever aqui.
A relação entre a circunferência e o diâmetro.
Vamos dizer que alguém tinha um círculo - vamos
dizer que eles tinham esse círculos e na primeira vez
com uma medida não tão boa, eles mediram em volta do círculo
e disseram "Ei, parece algo próximo de 3 quando damos"
a volta!"
E quando eu meço o diâmetro do círculo,
é próximo de 1.
Ok, isso é interessante.
Talvez a relação da circunferência com
o diâmetro seja 3.
Então, talvez a circunferência seja sempre 3 vezes o diâmetro.
Então, talvez a circunferência seja sempre 3 vezes o diâmetro.
Bom, isso foi no caso desse círculo, mas vamos dizer que eles
mediram desse outro círculo aqui.
Como esse, eu desenhei menor.
Digamos que nesse círculo eles mediram e
descobriram que a circunferência é 6 cm aproximadamente,
temos uma medição imprecisa aqui.
Então eles descobriram que o diâmetro é
aproximadamente 2 cm.
E de novo, a proporção entre a circunferência e o diâmetro era aproximadamente 3.
E de novo, a proporção entre a circunferência e o diâmetro era aproximadamente 3.
Ok, é uma propriedade legal dos círculos.
Talvez a relação entre a circunferência e o diâmetro
seja sempre fixa para qualquer círculo.
Então disseram "vamos estudar isso".
Então pegaram medidores melhores.
Quando pegaram medidores melhores e mediram,
"hey! meu diâmetro é definitivamente 1".
Eles disseram "meu diâmetro é definitivamente 1, mas quando
eu meço minha circunferência, eu percebo
que é próximo de 3,1".
E a mesma coisa com esse aqui.
Eles perceberam que a proporção era perto de 3,1.
Então continuaram medindo melhor, e melhor, e melhor,
e aí perceberam que estavam conseguindo esse número
eles só ficaram medindo melhor e melhor e eles
conseguiram o número 3,14159.
E eles continuaram adicionando dígitos, dígitos que nunca se repetiam.
E eles continuaram adicionando dígitos, dígitos que nunca se repetiam.
Era estranho e fascinante um número
que continuava e nunca repetia.
E como esse número é tão fundamental para o nosso universo,
porque o círculo é tão fundamental para o nosso universo,
e o número sempre aparece em todos os círculos.
A proporção entre circunferência e diâmetro era
esse número mágico, e eles lhe deram um nome.
Chamaram-no de Pi, ou você
pode usar essa letra grega Pi, essa aqui.
Ela representa esse número que é certamente
o mais fascinante do nosso universo.
Ele aparece como a proporção entre circunferência e
diâmetro, mas você vai aprender em sua jornada na
matemática que ele aparece em todo lugar.
É uma dessas coisas fundamentais sobre o universo que
faz você pensar que tem alguma ordem.
De qualquer forma, mas como podemos usar isso em
nossa matemática?
Então a gente sabe, estou te contando se não sabe, que essa razão entre
a circunferência e o diâmetro - quando eu digo proporção
eu só quero dizer que se dividirmos a circunferência pelo diâmentro, aparece o Pi.
eu só quero dizer que se dividirmos a circunferência pelo diâmentro, aparece o Pi.
Pi é simplesmente esse número, Pi é um número.
Eu posso escrever 3,14159 e continuar e continuar
mas seria um desperdício de papel e também é difícil
trabalhar com tantos dígitos, então as pessoas simplesmente escrevem essa letra grega Pi aqui.
trabalhar com tantos dígitos, então as pessoas simplesmente escrevem essa letra grega Pi aqui.
Então, como podemos relacioná-los?
Se multiplicarmos ambos os lados pelo diâmetro e
podemos ver que a circunferência é Pi multiplicado pelo diâmetro.
podemos ver que a circunferência é Pi multiplicado pelo diâmetro.
Ou, como o diâmetro é 2 vezes o Raio, então podemos dizer
que a circunferência é Pi vezes 2 vezes o Raio.
que a circunferência é Pi vezes 2 vezes o Raio.
Ou, como a maioria das pessoas gosta de escrever,
a circunferência é 2 Pi r (r de raio, esse r representa o raio).
Então veremos se podemos aplicar isso em alguns problemas.
Vamos dizer que temos um círculo como esse e
vou dizer que o raio, que esse raio aqui é 3.
Então 3 - deixe-me escrever isso aqui - que o raio é igual a 3.
Talvezes seja 3 metros - coloque alguma unidade aqui.
Qual a circunferência do círculo?
A circunferência é 2 vezes Pi vezes Raio.
Então vai ser 2 vezes Pi vezes o raio,
vezes 3 metros, o que é igual a 6 metros vezes o Pi, ou 6 Pi metros.
vezes 3 metros, o que é igual a 6 metros vezes o Pi, ou 6 Pi metros.
6 pi metros.
Agora, eu poderia multiplicar isso.
Lembrando que o pi é só um número,
Pi é 3,14159.... e continua....
Então se eu multiplicar isso por 6, talvez eu consiga 18 vírgula
alguma coisa, alguma coisa, alguma coisa....
Se tiver uma calculadora, você pode querer usar, mas
as pessoas simplesmente deixam os números com o pi.
as pessoas simplesmente deixam os números com o pi.
Eu não sei quanto que dá se você multiplicar por 6
o 3,14159, não sei conseguimos algo que fica perto do 19 ou
do 18, talvez seja aproximadamente 18 vírgula alguma coisa
e alguma coisa, alguma coisa...
Não tenho uma calculadora aqui.
Mas em vezes de escrever esse número, você pode
simplesmente deixar o 6 pi aí.
Na verdade, eu acho que não
passaria de 19.
Agora, uma outra pergunta.
Qual o diâmetro do círculo?
Se o raio é 3, o diâmetro é o dobro do raio, é o dobro disso.
Então será 3 vezes 2 ou 3 vezes 3, que é igual a 6 metros.
que é igual a 6 metros.
Então a circunferência é 6 pi metros, o raio é 6 metros e o raio é 3 metros.
Então a circunferência é 6 pi metros, o raio é 6 metros e o raio é 3 metros.
Agora vamos de outra forma.
Vamos dizer que eu tenho outro círculo.
Digamos que tenho esse círculo aqui.
E que eu vou te dizer que a circunferência vale 10 metros.
- essa é a circunferência do círculo, é 10 metros.
Se você fosse medir ao redor com uma fita e
alguém te perguntasse "qual o diâmetro do círculo?".
Bom, sabemos que o diâmetro vezes Pi, sabemos que Pi vezes o diâmetro é igual à circunferência
Bom, sabemos que o diâmetro vezes Pi, sabemos que Pi vezes o diâmetro é igual à circunferência
e que a circunferência é 10 metros.
Para resolver isso, nós simplesmente dividimos os dois lados
da equação por Pi.
O diâmetro é 10 metros sobre pi ou
10 sobre pi metros.
Isso aí é só um número.
Se você tiver uma calculadora, você pode dividir
o 10 por 3,14159, isso vai dar 3 vírgula alguma coisa.,
alguma coisa, alguma coisa metros.
Não consigo fazer de cabeça.
Bom, mas é só um número.
Para simplificar, deixamos assim mesmo.
E agora, qual o raio?
Bom, o raio é metade do diâmetro.
Então essa distância aqui é 10 sobre pi metros.
Se dividirmos isso por 2, pra obtermos o raio, nós
simplesmente multiplicamos isso por 1/2 (1 sobre 2).
Então temos 1/2 vezes 10 sobre pi, que é a mesma coisa
que 1/2 vezes 10, ou você divide o numerador e o denominador por 2.
que 1/2 vezes 10, ou você divide o numerador e o denominador por 2.
Aqui ficamos com 5, então você tem 5 sobre pi.
Então o raio aqui é 5 sobre pi.
Nada super esquisito em torno disso.
Acho que o que confunde as pessoas
é não perceber que pi é um número.
Pi é só 3,14159.. e continua...
Há milhares de livros sobre o pi, então
não é como - não sei se há milhares, eu estou
exagerndo, mas há livros sobre esse número.
É só um número.
É um número muito especial, e se você quiser escrevê-lo de
um modo que você já está acostumado com número, você pode
simplesmente multiplicar isso.
Mas na maior parte do tempo as pessoas percebem que preferem deixar
os números com o pi.
De qualquer forma, te deixo aqui.
No próximo vídeo descobriremos qual a área de um círculo.